11.2. Принцип неопределенности

Движение частицы можно описать на классическом языке, используя ее координаты и импульс. Можно предсказать будущее состояние частицы, основываясь на детерминистских законах динамики. В квантовой механике ситуация иная. Здесь невозможно определить одновременно две наблюдаемые величины, такие, как момент и координату х частицы с точностью, лучшей, чем следует из принципа неопределенности Гейзенберга. Согласно этому принципу, если неопределенности в измерениях величин то

Неопределенность в переменной изображаемая символом может быть представлена как среднеквадратичное отклонение от среднего значения переменной, найденное из серии измерений, т. е. сокращенное обозначение среднего где отклонение от среднего в единичном измерении. Пары величин, которые подчиняются принципу неопределенности, известны как сопряженные переменные. Примером другой сопряженной пары могут служить энергия системы Е и время в течение которого она обладает этой энергией. Неопределенность для этих величин выражается неравенством

Хотя принцип неопределенности описывает квантовомеханическое явление, он имеет классический аналог [4], который может дать интуитивное представление о написанных выше неравенствах. Рассмотрим гармонический сигнал с угловой частотой который ограничен интервалом так, чтобы получился импульс изображенный на рис. 11.1, а. Предположим, что этот импульс был получен в результате измерения и что мы хотим определить время прибытия и частоту гармонического сигнала.

Рис. 11.1. а — гармонический сигнал, ограниченный интервалом ; б — преобразование Фурье.

Если

то фурье-преобразованием является функция

Для круговых частот вблизи значения второй член в правой части выражения (11.5) пренебрежимо мал и функция хорошо аппроксимируется выражением

график которого представлен на рис. 11.1, б как функция от аргумента Кривая обладает главным максимумом при показывая, что основные спектральные компоненты сигнала группируются вокруг частоты гармонической волны. Однако пик имеет конечную ширину, делающую невозможным

точное определение частоты гармонического сигнала. Иными словами, ширина пика создает неопределенность в измерении частоты.

Мерой неопределенности является полуширина пика между первыми двумя нулями по обе стороны от значения

Поскольку величина Да обратно пропорциональна длительности импульса Т, то «размывание» по частоте уменьшается при увеличении времени наблюдения. Однако длительность импульса устанавливает меру неопределенности во времени его прибытия, которое можно уменьшить, если пожертвовать информацией о частоте. Очевидно, что уравнение (11.7) является формой соотношения неопределенности, которое имеет место независимо от каких-либо квантовомеханических представлений. Однако его можно выразить в тех же самых переменных, что и уравнение (11.3), если ввести постоянную Планка и сформулировать неопределенности в виде

где неопределенности энергии и времени прибытия. В результате комбинации этих условий с уравнением (11.7) получаем соотношение

которое, очевидно, согласуется с неравенством в принципе неопределенности Гейзенберга.