2.4. Стохастические процессы

Статистические свойства стохастического процесса — это те регулярные особенности, которые проявляются (могут проявиться) в результате большого числа испытаний или наблюдений. Это наводит на мысль, что такой процесс можно исследовать математически на основе воображаемого ансамбля статистически похожих процессов, наблюдаемых одновременно за один и

тот же промежуток времени. Составляющие функции ансамбля соответствующие этим процессам, связывают с ними различные вероятностные характеристики, по которым можно предсказывать статистические свойства единичного процесса в ансамбле. Такие предсказания позволяют проводить сравнения с наблюдаемыми количественными соотношениями в реальном мире. Таким образом, можно оценить качество предсказаний и отсюда пригодность теоретических моделей, к ним приводящих, что позволяет лучше понять физические явления, лежащие в основе наблюдаемых флуктуаций.

Вероятностные характеристики, о которых говорилось выше, представляют собой иерархию функций плотности вероятности, связанных с составляющими функциями процессов в ансамбле. Вообще говоря, эти характеристики зависят от моментов времени, для которых их вычисляют. Однако есть исключение из общего правила — стационарные процессы. Стационарность в узком смысле означает, что все функции плотности вероятности, связанные с процессом, инвариантны при временном сдвиге точки отсчета. Похожее определение применимо к стационарности в широком смысле, но здесь оно относится только к функциям плотности вероятности первого и второго порядков. Важно заметить в связи с реальными шумовыми флуктуациями, что в случае статистически стационарных процессов (в широком или узком смысле) вероятностные характеристики второго порядка зависят только от разности между моментами наблюдения, тогда как характеристики первого порядка совершенно не зависят от времени. Примером такой характеристики первого порядка является нормальная, или гауссовская, функция

где среднее значение, дисперсия процесса Все статистические характеристики гауссовского процесса определяются функциями вероятности первого и второго порядков, так что знаний среднего значения и функции ковариации достаточно для того, чтобы полностью установить все статистические свойства процесса.

Существуют два различных способа усреднения, которые могут быть применены к составляющим функциям ансамбля: первьш — усреднение по времени, имеющий дело с отдельно взятой функцией ансамбля, и второй — усреднение по ансамблю, где средними являются математические ожидания, вычисляемые в фиксированные моменты времени в интервале наблюдения по вероятностным характеристикам, рассмотренным выше.

Средние по времени первого и второго порядка члена ансамбля — это среднее значение

и автокорреляционная функция

причем последняя содержит меру «памяти» процесса. Символ в этих выражениях означает среднее по времени, продолжительность интервала наблюдения. Заметим, что автокорреляционная функция — четная функция временной задержки и что ее значение при есть значение среднего квадрата процесса.

Средние по ансамблю, соответствующие средним по времени в выражениях (2.21) и (2.22), — это среднее значение, взятое в момент времени

и смешанный момент второго порядка (или ковариация), взятый в моменты времени

Значение среднего квадрата при равно

Верхняя черта в этих выражениях показывает усреднение по ансамблю; символ означает математическое ожидание; число функций в ансамбле; сокращенные обозначения для — функция плотности совместной вероятности первого порядка и -функция плотности совместной вероятности второго порядка для процесса,

показывающая вероятность того, что некоторый член ансамбля в момент времени имеет значение, заключенное между и вместе с тем в момент времени имеет значение, заключенное между

Для стационарных процессов средние по ансамблю (2.23) и (2.25) не зависят от момента времени, для которого их вычисляют, а среднее (2.24) зависит, но не от абсолютных значений а только от разности В противоположность этому средние по ансамблю для нестационарных процессов зависят от абсолютного времени, и это подтверждает, что, вообще говоря, понятие усреднения по времени является некорректным в применении к нестационарным процессам.

Ввиду того что наблюдение реального случайного процесса ведется по единственной функции времени, может показаться, что усреднение по времени ближе к физической реальности, чем усреднение по ансамблю. С другой стороны, усреднение ансамблю — удобное теоретическое понятие, так как оно непосредственно связано с функциями плотности вероятности, которые сами часто можно определить теоретически. Для того чтобы иметь возможность сравнить теоретические результаты, основанные на средних по ансамблю, с экспериментальными измерениями средних по времени, необходимо знать, при каких условиях средние по времени и ансамблю эквивалентны. Обычно предполагают, что наблюдаемый процесс является членом эргодического ансамбля и что, следовательно, применима эргодическая теорема. Это допущение справедливо для большинства стохастических процессов, связанных с электронными устройствами, стационарных по крайней мере в широком смысле, и означает, что соответствующие средние по времени и ансамблю можно рассматривать как эквивалентные. Значительно более строгое изложение эргодической теоремы и библиографию важных работ по этому вопросу можно найти у Миддлтона [15]. Кроме того, Борн [3] представил интересное рассмотрение эргодичности.