8.2. Собственные колебания в генераторе ван-дер-Поля

На рис. 8.1 показана эквивалентная схема генератора с отрицательной проводимостью, состоящая из параллельного LC-контура с проводимостью потерь шунтированного нелинейной отрицательной проводимостью положительно). Когда схема неустойчива и внутренний шум

Рис. 8.1. Эквивалентная схема генератора с отрицательной проводимостью.

системы запускает собственные колебания. Тогда на выходе появляется колебательное напряжение

Конкретный вид нелинейности определяет характеристики генератора колебаний. В предположении, что может мгновенно реагировать на быстрые изменения нелинейную проводимость можно представить в виде разложения по степеням следующим образом:

где константы, значение (положительное) величины при Когда ряд в формуле (8.1) сходится так быстро, что члены выше квадратичного пренебрежимо малы, имеем выражение

которое описывает тип нелинейности, исследованной ван-дер-Полем [16]. Как он показал, наиболее важные свойства генератора определяются не линейным, а квадратичным членом в выражении (8.2). Другой тип нелинейности, послуживший основой для генератора Робинсона [11], имеет резкий изгиб в характеристике при определенном значении после которого происходит насыщение. Несмотря на то что характеристики нелинейностей Робинсона и ван-дер-Поля весьма различны, характеристики соответствующих генераторов похожи, хотя генератор ван-дер-Поля имеет тенденцию создавать больше шума, потому что -шум в нелинейной проводимости существенно модулирует что в свою очередь вызывает амплитудные и фазовые флуктуации на выходе. Фолкнер и Мид [4] получили подтверждение этому, изучая генератор на эффекте Ганна (который хорошо аппроксимирует генератор ван-дер-Поля), обнаружив корреляцию между -шумом сигнала смещения и ЧМ-шумом выходного сигнала.

Выходное напряжение схемы рис. 8.1 описывается дифференциальным уравнением

которое после подстановки выражения (8.2) и дифференцирования по времени принимает вид

Это — нелинейное, однородное (т. е. без члена с источником в правой части) дифференциальное уравнение и его решение описывает собственные колебания на выходе. Ван-дер-Поль [16, 17] показал теоретически, что частота этих колебаний есть

резонансная частота LC-контура и что амплитуда на выходе быстро достигает предельного значения, определяемого коэффициентом квадратичного члена в выражении (8.2). Это ограничение роста амплитуды можно понять из следующего физического рассмотрения.

Когда мало, нелинейная проводимость близка к линейной отрицательной проводимости и при суммарная проводимость схемы отрицательна. Схема в этом случае неустойчива, в ней возникают свободные колебания и амплитуда этих колебаний растет во времени экспоненциально (вместо того чтобы убывать экспоненциально, как было бы в случае схемы с положительной проводимостью). Когда амплитуда становится достаточно большой для того, чтобы член в выражении (8.2) стал сравнимым с —1 (считаем отрицательным), происходит смена знака величины и нелинейный элемент начинает работать как положительная проводимость. В этой точке амплитуда колебаний перестает нарастать, и устанавливается стационарный устойчивый режим амплитуды.

Нет необходимости решать уравнение (8.4), чтобы определить стационарную амплитуду колебаний и оценить важную роль квадратичного члена в выражении (8.2). Вместо этого воспользуемся условием, согласно которому в устойчивом состоянии энергия, поглощаемая проводимостью потерь равна энергии, выделяемой отрицательным сопротивлением [12, 13]; в результате получаем соотношение

где период колебаний. Полагая

где угловая частота, из выражений (8.2) и (8.5) имеем

Функция в нечетной степени при интегрировании за период дает нуль, так что в уравнении (8.7) остаются только интегралы вида

Поэтому получаем уравнение

которое имеет решение

Поскольку получаем, что правая часть этого уравнения положительна, когда что согласуется с качественным доказательством, приведенным выше.

Рис. 8.2. Эквивалентная схема генератора колебаний, на который действует внешний источник тока.

Заметим, что коэффициент а линейного члена в выражении (8.2) отсутствует в выражении для амплитуды стационарных колебаний: их уровень определяется величиной коэффициента квадратичного члена. При уменьшении квадратичной нелинейности в характеристике проводимости амплитуда свободных колебаний генератора возрастает в соответствии с обратной зависимостью в формуле (8.10).

Угловая частота собственных колебаний равна угловой резонансной частоте колебательного контура генератора на рис. 8.1, т. е. Этот результат вытекает из решения уравнения (8.4), проведенного ван-дер-Полем.