13.3. Минимальная обнаруживаемая энергия

Схема нерезонансного реактивного преобразователя представлена на рис. 13.2,а. Отметим, что она является низкочастотным электрическим фильтром с постоянной времени соответствующей частоте отсечки, равной Напряжение, возникающее на выходе преобразователя, состоит из сигнальной компоненты обусловленной входным импульсом, и компоненты теплового шума связанной с потерями в сопротивлении преобразователя. Предполагается, что в отсутствие входного сигнала цепь находится в тепловом равновесии с окружающей средой, имеющей температуру 0. Существуют два подхода к вопросу о минимальной энергии, которая может быть зарегистрирована в такой цепи. Они приводят к совершенно различным заключениям. Рассмотрим первый подход.

Рис. 13.2. а — нерезонансный реактивный преобразователь с импульсом на входе; б - эквивалентная схема с параллельно включенными генераторами тока сигнала и шума.

Отношение сигнал — шум на выходе можно выразить через энергию, выделенную входным импульсом и запасенную в емкости. Поскольку энергия поступившего импульса поглощается в цепи, напряжение на емкости увеличивается и достигает пикового значения При этом запасенная энергия сигнала имеет вид

Запасенная в конденсаторе средняя энергия тепловых шумов, генерируемых сопротивлением, описывается выражением

где значение среднего квадрата напряжения тепловых шумов. Второе равенство следует из условия равнораспределения. Определяя отношение сигнал — шум как получаем

Отсюда следует, что минимальная регистрируемая энергия в импульсе составляет

Данные рассуждения не принимают во внимание спектральные характеристики сигнала и шума. Поэтому кажется весьма привлекательной идея усилить спектральные компоненты

сигнала и подавить компоненты шума соответствующей фильтрацией выходного сигнала и таким образом достигнуть улучшения в смысле регистрации минимальной энергии. Однако, если для этой цели использовать пассивный фильтр, находящийся при той же самой температуре, что и преобразователь, никакого улучшения добиться невозможно, так как фильтр подчиняется тем же самым законам термодинамики, что и сам преобразователь. Шум, присущий фильтру, приводит к тому, что минимальная регистрируемая энергия не может быть меньше

Рис. 13.3. а — единичный импульс; б - спектр мощности (масштаб по оси ординат выбран произвольно).

Но если бы были сняты термодинамические ограничения и уничтожен или по крайней мере частично уменьшен тепловой шум на выходе контура, то минимально регистрируемая энергия могла бы быть сделана меньше Существует несколько путей достижения таких условий. Это, например, охлаждение выходной цепи ниже температуры окружающей среды или использование линии задержки, как предлагал Медер [18]. Третий способ, возможно, наиболее подходящий, состоит в использовании активного фильтра [11], на который не распространяются ограничения, налагаемые вторым законом термодинамики. Подход, связанный с применением активного фильтра, привлекает своей простотой, а также тем, что он позволяет реализовать произвольную рациональную систему функций в качестве передаточной характеристики, не внося сколько-нибудь значительного шума.

Если на выходе преобразователя включен соответствующий активный фильтр, то расчет минимальной обнаруживаемой энергии отличается от того, что дан выше для равновесного случая. Теперь необходимо принять во внимание спектры сигнала

и шума. Для понимания эффекта важно отметить, что фильтрующее действие преобразователя проявляется для высокочастотных спектральных компонент импульса.

Эквивалентная схема преобразователя изображена на рис. 13.2, б. Генераторы тока представляют на ней импульсный сигнал и шум сопротивления соответственно. На рис. 13.3, а изображен сигнал, представляющий собой единичный прямоугольный импульс длительностью и амплитудой Его энергетический спектр представлен на рис. Заметим, что основная часть энергии импульса сосредоточена в области угловых частот ниже Полная мощность шумов внутри этой полосы имеет вид

Это выражение представляет собой просто формулу Найквиста для спектральной плотности мощности теплового шума на сопротивлении умноженной на полосу сигнала Если теперь выполняется условие малой длительности импульса пиковое значение напряжения сигнала на емкости описывается выражением

Используя уравнение (13.1), получаем выражение для запасенной энергии

Таким образом, определяя отношение сигнал — шум как запишем его в следующем виде:

Согласно этому результату, минимальная обнаруживаемая энергия равна Это в раз меньше величины которая получается из уравнения (13.3).

Такое улучшение происходит по следующей причине. Из рассмотрения эквивалентной схемы, изображенной на рис. 13.2, видно, что полоса частот сигнала много шире, чем полоса преобразователя, который действует как фильтр низкочастотного пропускания. Поэтому высокочастотные компоненты сигнала ослабляются преобразователем, что приводит к уменьшению пикового напряжения на конденсаторе. Как следует из уравнения (13.5), квадрат пикового напряжения на преобразователе уменьшается как квадрат ширины полосы пропускания. Шум также уменьшается в результате низкочастотной фильтрации, но

мощность шума изменяется пропорционально ширине полосы пропускания. В результате происходит уменьшение отношения сигнал — шум, когда обрезаются высокочастотные компоненты сигнала и шума. Это соответствует случаю, когда мы пользовались рассмотренным выше первым вариантом рассуждения, приводящим к уравнению (13.3). Когда высокочастотные компоненты сигнала и шума сохраняются, достигается соответствующее увеличение отношения сигнал — шум. Второй вариант анализа приводит к уравнению (13.7).

Ясно, чтобы достигнуть улучшения отношения сигнал — шум, согласно уравнению (13.7), необходимо расширить полосу выходного сигнала, не вводя заметных шумов.

Рис. 13.4. Блок-схема реактивного преобразователя и активного фильтра с соответствующими передаточными функциями

Предполагая, что это можно сделать с помощью активного фильтра, как было предложено выше, схематически изобразим систему, как показано на рис. 13.4. Функцией системы где комплексная угловая частота, является передаточная функция ток — напряжение для RC-цепи, изображающей преобразователь

а На передаточная функция активного фильтра, включенного на выходе преобразователя. Сначала мы будем предполагать, что активный фильтр не имеет собственных шумов, но позже при рассмотрении гравитационных антенн, будет учитываться шум выходных электронных устройств. Для На подходит следующая функция:

где (Строго говоря, такая функция в уравнении (13.9) не может быть реализована, так как имеет бесконечную ширину полосы пропускания. Однако эту трудность можно обойти, несколько изменив приведенную выше форму что практически не сказывается на настоящем рассмотрении.)

Суммарная передаточная функция определяется произведением уравнений (13.8) и (13.9)

Таким образом, полная система действует как фильтр низкочастотного пропускания, но с частотой отсечки много большей, чем частота отсечки самого преобразователя. Это как раз то увеличение ширины полосы пропускания, которого мы добивались.

Очевидно, что активный фильтр, используемый в сочетании с нерезонансным преобразователем, может дать существенное увеличение отношения сигнал — шум. Этот метод применим также для высокодобротных детекторов гравитационных волн. Здесь может быть достигнуто аналогичное улучшение отношения сигнал — шум.