2.12. Взаимная корреляция, взаимные спектры и когерентность

Статистические характеристики второго порядка двух стационарных процессов, описываются в терминах функции взаимной корреляции и взаимной спектральной плотности, определенных по аналогии с автокорреляционной функцией и спектральной плотностью единичного стационарного процесса. Таким образом, функция взаимной корреляции имеет вид

а взаимная спектральная плотность — вид

где фурье-преобразования соответственно. Из выражения (2.75) следует, что

а из выражения (2.76) —

В этих равенствах подразумевается, что описывают реальные процессы. Заметим, что взаимная спектральная плотность — величина комплексная, с действительной и мнимой частями, которые могут принимать отрицательные значения и вследствие симметричности соотношений (2.78), очевидно, являются четной и нечетной функциями соответственно.

Функция взаимной корреляции и взаимная спектральная плотность являются партнерами по преобразованию Фурье и

связаны через пару интегралов обращения, подобных интегралам в теореме Винера — Хинчина. Исходя из записи теоремы Парсеваля и проводя преобразования, аналогичные тем, которые приводят к интегралам Винера — Хинчина, находим выражения

и

которые иногда считают обобщенной теоремой Винера — Хинчина. Двусторонняя форма записи интегралов используется здесь для краткости. Такая форма не содержит концептуальной трудности (или практической, связанной с измерением) в отношении отрицательных частот, так как симметричность взаимной спектральной плотности, описываемой равенствами (2.78), позволяет правую часть выражения (2.79) записать в виде синус- и косинус-преобразований Фурье, где интегралы берутся только по положительным частотам.

Нормированная взаимная спектральная плотность определяется как

где и -спектральные плотности соответственно. Величина Глсо) выражает взаимную когерентность между двумя сигналами, и поэтому ее часто называют функцией когерентности. Из неравенства Коши — Шварца следует, что спадает на интервале [0, 1] и что действительная и мнимая части спадают на интервале Функция когерентности подчиняется тем же соотношениям симметрии, что и [выражения (2.78)], но следует отметить, что это эрмитиан, удовлетворяющий условию