2.13. Линейные системы

Два стационарных процесса часто можно рассматривать как вход и выход линейной системы. Система может быть, например, измерительным прибором, используемым для наблюдения шумового процесса. Такая система, в которой

выполняется принцип суперпозиции, характеризуется функцией импульсного отклика которая из соображений причинности должна быть равна нулю для или системной функцией

которая является фурье-преобразованием для

Процесс на выходе системы есть свертка входного процесса с функцией импульсного отклика

который после применения преобразования Фурье имеет вид

Теперь можно вывести некоторые соотношения между статистическими величинами, характеризующими входной и выходной шумовые процессы.

Математическое ожидание на выходе описывается формулой

Таким образом, постоянный ток на выходе — это просто постоянный ток на входе, умноженный на коэффициент усиления системы на нулевой частоте.

Математическое ожидание произведения есть, среднее

Второй интеграл здесь можно рассматривать как свертку автокорреляционной функции входа с функцией импульсного отклика так как правая часть выражения (2.86) не зависит от левая часть равна функции взаимной корреляции. Отсюда следует, что

Аналогичное рассуждение показывает, что автокорреляционная функция процесса на выходе равна

Это можно увидеть из того, что если на входе линейной системы имеется стационарный процесс, то и на выходе он тоже стационарный.

Взаимную спектральную плотность между входом и выходом получают преобразованием Фурье обеих частей уравнения (2.87). Учитывая интегралы обращения Винера — Хинчина, имеем

и аналогично спектральная плотность процесса на выходе, полученная преобразованием выражения (2.88), имеет вид

Из определения функции когерентности по формуле (2.81) следует, что для входного и выходного процессов

Модуль этого выражения равен единице, что согласуется с фактом существования полной причинной связи между входом и выходом. Если бы система сама производила шум, так что на выходе содержалась бы случайная компонента, флуктуирующая независимо от входа, то модуль функции когерентности был бы меньше единицы.

При наблюдении шумового сигнала измерительный прибор (детектор) всегда имеет ненулевое время отклика, или, что эквивалентно, конечную ширину полосы пропускания. Так как определенные частоты флуктуаций на входе в основном находятся вне полосы пропускания прибора, шумовой сигнал на выходе не будет простым повторением сигнала на входе. Таким образом, измерительный прибор сам влияет на то, что наблюдается на выходе, действуя как фильтр.

Чтобы показать это влияние на конкретном примере, предположим, что системная функция (линейного) измерительного прибора имеет вид

где время отклика, и что входные флуктуации представляют собой релаксационный процесс с временем релаксации где Таким образом, ширина полосы входного сигнала много больше, чем детектора. Спектральную плотность

можно записать как

где не зависит от частоты, и, следовательно, из уравнения (2.90) получим спектральную плотность сигнала на выходе в виде

где член аппроксимирован единицей. Теорема Винера— Хинчина дает автокорреляционные функции, соответствующие этим спектральным плотностям, в виде

и

Из этих выражений видно, что, отфильтровывая высокочастотную энергию входного сигнала, детектор увеличивает время корреляции в раз и уменьшает значение среднего квадрата в обратное число раз.