7.5. Статистика бистабильного взрывного шума

Мы уже упоминали о том, что бистабильный взрывной шум можно представить в виде случайного телеграфного сигнала. Статистические свойства сигналов такого вида в предположении, что вероятность перехода от одного уровня к другому задается законом Пуассона, были рассмотрены Райсом [34]. Исследования самого Райса основывались на еще более раннем анализе, проведенном Кенриком [20], который представляет также исторический интерес, поскольку является, по-видимому, одним из первых приложений метода корреляционной функции к вопросу определения спектрального распределения мощности случайного сигнала. Вывод, приведенный ниже, в основном следует анализу Райса.

Рис. 7.12. Вид случайного телеграфного сигнала.

Функция соответствующая бистабильному сигналу вида, показанного на рис. 7.12, может принимать только два значения, которые обозначим через и . Если считать, что вероятность перехода с одного уровня на другой за отрезок времени составляет и что эта вероятность не зависит от переходов вне этого отрезка времени, то вероятность переходов за отрезок времени дается распределением Пуассона (см. приложение 1)

Можно легко показать, если вычислить первый момент этого распределения, что среднее число таких переходов за секунду.

Если средние времена нахождения на верхнем и нижнем уровнях соответственно, то плотность вероятности времен нахождения на этих двух уровнях описывается формулой

Такой результат следует сразу из распределения Пуассона, как

произведение вероятности того, что нет перехода за интервал и вероятности существования одного перехода за интервал Уравнение (7.6) означает, что времена нахождения в этих двух уровнях распределены по экспоненте в соответствии со статистическими измерениями взрывного шума, выполненными Вольфом и Холлером [41] (рис. 7.5).

Для вычисления спектральной плотности взрывного шума находим произведение и затем усредняем его для получения автокорреляционной функции, по которой в свою очередь из теоремы Винера — Хинчина находим искомое спектральное распределение шума. Произведение равно если число переходов в интервале времени четное, и если число переходов за такой же интервал времени — нечетное. Следовательно, среднее значение произведения составляет

Две вероятности в этом выражении зависят только от длительности интервала и не зависят от того, когда интервал начинается. Следовательно, подставляя в уравнение (7.5), из уравнения (7.7) имеем

Но среднее в левой части этого выражения равно автокорреляционной функции сигнала, т. е.

и соответствующее спектральное распределение мощности шумового сигнала описывается выражением

Спектральная плотность взрывного шума в выражении (7.10) имеет такой же вид, что и у релаксационного процесса; она по существу параллельна оси абсцисс на низких частотах ниже частоты соответствующей половине мощности, и убывает по закону в области высоких частот. Спектральное распределение такого вида экспериментально наблюдалось у приборов различного типа рядом ученых, например Вольфом и Холлером, Хсу и Виттиером, а также Мартином и Бласкесом.

Интересно, что, за исключением масштабного множителя, в спектральную плотность взрывного шума входит только один параметр — это средняя скорость перехода с одного уровня на другой. Ягер и Бродерсон провели измерение средней скорости перехода (которая равняется удвоенной скорости всплесков) соответствующей частоте половинной мощности Гц. Измеренный ими спектр имел вид, задаваемый уравнением (7.10) с частотой, соответствующей половине мощности, равной 255 Гц. Это значение находится в согласии с указанным выше значением в пределах точности эксперимента. Кроме этого, целый ряд других авторов проводили измерения спектральной плотности взрывного шума, и во всех случаях их результаты соответствовали спектру, задаваемому уравнением (7.10).

Однако Хсу и Виттиер, исходя из модели, в которой бистабильный взрывной шум рассматривался как случайная линейная суперпозиция прямоугольных импульсов с длительностью каждого, равной получили выражение, отличное от выражения (7.10). Используя теорему Карсона, они получили спектр, который имеет зависимость от частоты в виде

из которого они получили суммарный спектр интенсивности взрывного шума, полагая, что ширина импульса задается функцией распределения, которую они не определяли. У такого подхода имеются две трудности. Во-первых, указанный выше результат приводит к нулям и явно выраженным пикам максимумов, что не находит экспериментального подтверждения в работах самих Хсу и Виттиера и других, хотя можно полагать, что упомянутая выше не конкретизированная функция распределения будет, возможно, в какой-то мере выравнивать спектр. И, во-вторых, что более существенно, данная модель сама, по-видимому, не является полностью обоснованной, так как бистабильный взрывной шум не сводится к случайной суперпозиции прямоугольных импульсов, и теорема Карсона не справедлива, как метод для статистической обработки такого шумового сигнала. Это можно видеть из того факта, что при представлении

процесса в виде случайной суперпозиции, импульсы могут перекрываться, приводя к сигналу, имеющему более двух уровней. Трудно представить, как такой сигнал, который может иметь несколько уровней, можно приравнять к бистабильному ступенчатому сигналу; столь же трудно отождествить спектральное распределение с резкими пиками со спектром бистабильного взрывного шума. Мы приходим к выводу, что наиболее подходящая модель взрывного шума та, которая приводит к спектральному распределению, описываемому уравнением (7.10).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)