Приложение 5. Решение уравнения, описывающего выходной шум генератора

Уравнение, которое требуется решить для определения амплитудных и фазовых флуктуаций на выходе генератора ван-дер-Поля, - это уравнение (8.34), которое после дифференцирования по времени переходит к виду

где

а остальные параметры определены в гл. 8. Выполняя дифференцирование и производя подстановки, уравнение преобразуем к виду

где и -очень медленно меняющиеся функции по сравнению со свободными колебаниями, описываемые выражениями

и

Теперь задача состоит в решении уравнений относительно в предположении, что -источник белого шума.

Используемый метод заключается в поочередном умножении уравнения на и и последующем интегрировании на одном периоде собственных колебаний. Так как по существу не изменяются за такой короткий отрезок времени, их можно принять за константы и вынести за знак интеграла (этот прием иногда называют методом стационарной фазы). Ортогональность функций синуса и косинуса на одном периоде приводит затем к уничтожению того или другого слагаемого в левой части уравнения Таким образом, получаются два уравнения, которые можно записать в виде

и

где — внешняя добротность генератора. Функции, зависящие от времени в правой части этих выражений, представляют источник и задаются интегралами

и

где период собственных колебаний. Заметим, что производная источника белого шума, появляющаяся в подынтегральных выражениях, здесь уже весьма определенно не является медленно меняющейся функцией, и ее нельзя выносить за знак интеграла. Позднее мы вернемся к вычислению (или, по крайней мере, — их спектральных плотностей).

Уравнения — линейные совместные уравнения, решаемые стандартными методами. Дифференцируя уравнение умножая уравнение на и вычитая одно из другого, получаем уравнение, не содержащее

Применяя преобразование Фурье к обеим частям этого уравнения и решая полученное уравнение относительно преобразования находим

где - преобразования и принята аппроксимация при Это и есть рассматриваемый случай, Так как функция очень низкой частоты. Из формулы

(П5.12) получаем спектральную плотность

где — спектральная плотность

Решение для фазовых флуктуаций теперь находят из уравнения применяя преобразование Фурье к обеим частям и находя преобразование функции через

где принята аппроксимация для интересующей нас области низких частот, т. е. при Таким образом, спектр равен

где — спектральная плотность .

Взаимную спектральную плотность между флуктуациями амплитуды и фазы можно записать непосредственно по фурье-преобразованиям в уравнениях

где взаимная спектральная плотность между

Теперь остается только определить взаимные спектральные плотности флуктуаций источников через спектр шумового генератора тока Считаем, что нас интересует задаваемая выражением тогда, интегрируя по частям, можно представить эту величину в виде

Таким образом, получаем ковариадию

По определению автокорреляционная функция имеет вид

Далее, так как служит источником белого шума, его автокорреляционная функция является дельта-функцией

где константа. Объединяя выражения получаем, что всеми членами в правой части выражения можно пренебречь, за исключением члена, содержащего двойной интеграл, что дает

По теореме Винера — Хинчина спектральная плотность следовательно, описывается формулой

где функция косинусов в подынтегральном выражении

положена равной единице, потому что по всему интервалу интегрирования Далее, спектральная плотность генератора белого шума, полученная с помощью выражения для автокорреляционной функции равна и отсюда по формуле имеем

Аналогичный вывод, проведенный для спектральной плотности дает то же самое выражение, что и для

Этот вывод показывает также, что взаимная спектральная плотность между равна нулю, из чего следует, что и независимые флуктуации.

Если выражения подставим в формулы то найдем спектральные плотности амплитудных и фазовых флуктуаций соответственно

и

Эти результаты идентичны полученным в гл. 8 при упрощенном доказательстве, где или или полагали равными нулю, в то время как вычисляли другую величину. Таким образом, подтвердилось основное предположение, использованное в гл. 8, а именно, что энергия в шумовом генераторе одинаково распределяется при возбуждении амплитудных и фазовых флуктуаций.