6.7.3. Температурные флуктуации в металлических пленках

В том случае, когда резистор находится в тепловом равновесии с окружающей средой при средней температуре он испытывает температурные флуктуации, обусловленные обменом

тепла со средой. Эти флуктуации температуры в свою очередь приводят к флуктуации сопротивления около среднего значения Если - среднее значение температурной флуктуации по объему образца, то флуктуация сопротивления описывается формулой

где - температурный коэффициент сопротивления. Из уравнения (6.26) следует, что при прохождении постоянного тока I через резистор спектральная плотность флуктуаций напряжения в резисторе, возникающих из-за флуктуаций температуры, имеет вид

где — спектральная плотность флуктуаций температуры

Из уравнения (6.46) можно видеть, что при прохождении постоянного тока через резистор температурные флуктуации приводят к флуктуациям напряжения на клеммах резистора. В ряде работ исследовалась возможность того, что подобный механизм обусловливает -шум в однородных резисторах, в частности в работах Кларка и Восса [17], а также Восса и Кларка [67] в случае тонких сплошных пленок металлов. (Уровень -шума у полупроводников и несплошных пленок, вообще говоря, слишком велик, чтобы его объяснить на основе гипотезы о температурных флуктуациях.) Теоретическая модель Восса и Кларка была основана на решении уравнения диффузии для неограниченного пространства и последующем усреднении по конечному объему резистора для получения среднего значения температурной флуктуации В результате они получили спектральную функцию степенного вида, которая уменьшается при возрастании частоты, но не содержит зависимости для области частот в несколько декад. Восс и Кларк полагают, что металлические пленки на подложках из стекла плохо аппроксимируются неограниченным пространством, имея в виду, что присутствие границ может изменить спектр таким образом, чтобы получить обширную -область. В соответствии с этим они в явной форме ввели эмпирическую -область в свой спектр между низкочастотной и высокочастотной границами, определяемыми длиной и шириной пленки. Используя условие нормализации

они получили

Исходя из условий термодинамики, средний квадрат температурных флуктуаций составляет

где постоянная Больцмана; теплоемкость образца. Для металла при комнатной температуре где полное число атомов образца, и отсюда спектральную плотность флуктуации напряжения в уравнении (6.48) можно записать в виде

Тепловой диффузионный спектр в уравнении (6.50) отличается от гипотетической формулы Хуга [уравнение (6.29)] тем, что в числителе он содержит температурный коэффициент сопротивления, а в знаменателе — член, зависящий от геометрии образца. Последний член, правда, вряд ли составляет существенное расхождение с функцией Хуга, так как размеры образца находятся в нем под знаком логарифма, а это слабо изменяющаяся функция. В противоположность этому наличие коэффициента в уравнении (6.50) весьма существенно, и экспериментальные доказательства в пользу теории, основанной на тепловой диффузии (а не формулы Хуга), были получены Воссом и Кларком: они обнаружили не замеченный ранее -шум у манганина, который имеет температурный коэффициент сопротивления, очень близкий к нулю, в соответствии с теоретическим предсказанием, следующим из уравнения (6.50). О другом экспериментальном подтверждении полуэмпирической формулы Восса и Кларка сообщили Кларк и Шнанг [16], которые провели измерение низкочастотного шума в пленках из олова в условиях сверхпроводящего перехода, когда значение крайне велико по сравнению со значением при комнатной температуре, приблизительно равным . В области частот ниже 100 Гц Кларк и Шианг получили хорошее согласие между результатами их измерений шумового спектра в лленках из олова на подложках из стекла и теоретическими предсказаниями, следующими из уравнения (6.50).

Согласно теории тепловой диффузии, температурные флуктуации в металлических пленках должны обладать некоторой степенью пространственной когерентности, которая характеризуется зависящей от частоты длиной корреляции

где коэффициент тепловой диффузии пленки. Измерения такой корреляции на пленках из висмута при комнатной температуре, проведенные Воссом и Кларком, и на пленках из олова при температуре перехода в сверхпроводящее состояние, проведенные Кларком и Шиангом, находятся в хорошем согласии с предсказанием теории, что является еще одним экспериментальным подтверждением теории температурных флуктуаций.

Может казаться, что в определенных случаях -шум в металлических пленках следует приписать равновесным температурным флуктуациям, но, несмотря на начальный успех этой модели, последующие исследования привели к выводу о том, что в общем случае тепловая диффузия не ответственна за наблюдаемые в эксперименте спектральные зависимости. Более того, отсутствие -шума у манганина (факт, который воспринимался как существенная экспериментальная поддержка теории температурных флуктуаций) было подвергнуто сомнению Хугом [31], который отметил, что Вандамм измерил контактный шум твердых слитков манганина и не обнаружил ничего необычного в наблюдаемом спектре. Хуг пришел к заключению, что «нет ничего специфического в характере -шума манганина с его малым значением температурного коэффициента сопротивления». Помимо неопределенности в поведении манганина, модель тепловой диффузии -шума имеет и другие серьезные изъяны: из нее не следует наличия широко простирающейся области с ясно выраженной -зависимостью спектра от частоты, она предсказывает отсечку на низких частотах и из нее следует сравнительно слабая монотонная зависимость от температуры. По всем этим пунктам получены противоречащие данной теории экспериментальные результаты. Однако, по всей вероятности, наиболее убедительное доказательство того, что -шум у металлических пленок на подложках не обусловливается механизмом температурных флуктуаций, предложенным Воссом и Кларком, получено из недавно проведенных измерений пространственной корреляции, выполненных Шофельдом с сотр. [56].

Они взяли две пленки из золота, которые были разделены слоем электрического изолятора, настолько тонким, что тепловые флуктуации у одной пленки сильно коррелировали с тепловыми флуктуациями у другой. Следовательно, если -шум связан с тепловой диффузией, шум в этих пленках должен быть сильно коррелирован. Эксперимент же показал, что по существу нет причинной связи между -шумом в этих двух пленках; измеренный коэффициент корреляции составлял менее чем 1/100 того значения, которое предсказывала теория тепловой диффузии. Неизбежный вывод из этого эксперимента

заключается в том, что, вообще говоря, -шум у тонких пленок металлов не обусловлен равновесными флуктуациями энергии, модулирующими электрическое сопротивление образцов. К подобному же выводу пришел Блэк с сотр. [11], исходя из результатов экспериментов по исследованию корреляции на пленках из хрома.