2.5. Энергетические теоремы

Мощность шумового процесса является статистической характеристикой процесса второго порядка. Ее удобно рассматривать на основе теоремы Парсеваля, которая устанавливает, что если две функции времени с соответствующими фурье-преобразованиями то

причем предполагается, что фурье-преобразования существуют. Звездочка означает комплексное сопряжение. Теорему доказывают, подставляя вместо в подынтегральном выражении: слева формулу обращения (2.12), изменяя порядок интегрирования и заменяя получившийся интеграл по времени на после этого получают выражение в правой части равенства (2.26). Заметим, что теорема Парсеваля — достаточно общая, не накладывающая ограничений на функции времени кроме того, что они должны быть абсолютно интегрируемыми.

Предположим теперь, что шумовой процесс наблюдается в интервале так что вне этого временного «окна» значения его ординаты можно считать равными нулю. Обозначим этот ступенчатый процесс и пусть

где задержка во времени. Так как функция равна: нулю при существует ее фурье-преобразование и, следовательно, из равенства (2.26) имеем

где звездочка при функции времени опущена, так как действительный процесс. Когда выражение (2.28) переходит в равенство

которое представляет собой запись теоремы Парсеваля, или, как ее иногда называют, энергетической теоремы.

Каждая часть выражения (2.29) равна полной энергии в Это наводит на мысль, что можно интерпретировать как плотность энергии процесса (в единицах энергии на герц), которая конечна при условии, что Средняя мощность в ступенчатом шумовом процессе есть полная энергия, деленная на Т, которая при становится равной

причем постулируется, что пределы существуют. Односторонняя форма интеграла справа возможна здесь потому, что, так как действительна, подынтегральная функция — четная функция частоты. Знак и интеграл в правой части равенства (2.30) можно поменять местами, если предположить, что сначала производится усреднение по ансамблю [15]. Спектральная плотность (односторонняя) стационарного процесса определяется как среднее по ансамблю:

которое стремится к точному значению. Таким образом, спектральная плотность стационарного процесса определяется как свойство ансамбля в целом, а не как свойство индивидуальной составляющей функции ансамбля.

Важное свойство функции, определяемой формулой то, что она является четной функцией частоты. Таким образом, спектральная плотность любого (реального) процесса независимо от его физической природы является четной функцией. Вид функционала в выражении (2.31) часто представляют как одностороннюю спектральную плотность в отличие от двусторонней формы, в которой отсутствует множитель 2 с правой стороны. В последнем случае в качестве компенсации нижний нулевой предел в интегралах по частоте, как, например, в равенстве (2.30), следует заменить на Добавим, что включение отрицательной области частот в данном контексте не должно приводить к концептуальным затруднениям в отношении смысла отрицательной частоты: так как четная функция частоты, то на частотах меньше нуля не вносится никакой новой информации; это лишь средство убедиться, что корректирующий масштабный множитель стоит там, где нужно.

Спектральная плотность стационарного процесса однозначно связана с автокорреляционной функцией этого процесса. Вид соотношения находят из равенства (2.28), деля обе части на усредняя по ансамблю и записывая в пределе при

где для интеграла в правой части возможна запись в односторонней форме, потому что четная функция частоты. Левая часть этого выражения — автокорреляционная функция

процесса. Меняя местами в правой части предел и интегрирование и учитывая определение (2.31), получаем

Это формула преобразования Фурье, обратное соотношение для которого можно получить непосредственно по аналогии с интегралом обращения (2.10)

Выражения (2.33) составляют теорему Винера — Хинчина, названную так в честь работ Винера [23] и Хинчина [10].

Теорема Винера — Хинчина — важный аналитический инструмент. В качестве примера ее применения рассмотрим релаксационный процесс. Такие процессы часто встречаются в устройствах на твердом теле; они описываются экспоненциально убывающей автокорреляционной функцией

где дисперсия процесса, константа распада. Формула обратного преобразования (2.336) тотчас дает спектральную плотность процесса в виде

Таким образом, спектр релаксационного процесса равномерен, когда убывает как когда и при имеет половинную интенсивность.

Конечно, не все шумовые процессы относятся к релаксационному типу. Из процессов нерелаксационного типа примечателен -шум, который имеет место в большинстве электронных приборов и в ряде других систем. Его спектральная плотность изменяется как , где а обычно находится между 0,8 и 1,2. Эту зависимость наблюдали в широком диапазоне частот, ограниченном сверху джонсоновским шумом, а снизу — временем наблюдения, принятым в эксперименте. Несмотря на повсеместность распространения этого шума и большой интерес к нему в течение последних приблизительно пятидесяти лет после того,

как стало известным это явление, вполне удовлетворительной теории -шума до сих пор не появилось.

Может быть, стоит добавить, что форму спектра -шума часто приближенно описывают выражением где Почти всегда это (строго говоря, неточное) представление понимают как зависимость которая, конечно, является четной функцией частоты независимо от значения а, как и любая спектральная плотность. Зависимость же при -нечетная функция частоты, а при дробном а это вообще не действительная функция, а бесконечное множество комплексных функций. Очевидно, такая функция не может быть спектральной плотностью. Чтобы избежать возможных недоразумений, повторим, что спектральная плотность -шума в наблюдаемом "диапазоне частот имеет вид зависимости которая является четной функцией частоты и как таковая соответствует определению функции спектральной плотности (2.31).