Главная > Шумы в электронных приборах и системах
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Приложение 2. Исследование по Найквисту теплового шума в сопротивлении

Спектральная плотность флуктуаций напряжения на сопротивлении, находящемся в тепловом равновесии с окружающей средой, первоначально была получена Найквистом [1] с привлечением методов термодинамики и статистической механики. Его исследование проблемы появилось вскоре после работы Джонсона, наблюдавшего тепловые флуктуации в сопротивлении, и результат, полученный Джонсоном, часто относят к закону Найквиста. Ниже описывается подход Найквиста к проблеме теплового шума.

Рис. П2.1. Равные сопротивления, соединенные параллельно.

Рис. П2.2. Линия передачи без потерь длины I, на концах замкнутая равными сопротивлениями

Первоначально он рассмотрел два электрических проводника, с одинаковым сопротивлением и при одной и той же температуре 0, равномерной по всему проводнику. Очевидно, что при параллельном соединении проводников, показанном на рис. электродвижущая сила, появляющаяся в результате теплового движения носителей заряда в вызывает в контуре ток, приводя к поглощению мощности проводником Аналогичный поток энергии существует и от Мощность от поглощаемая равна а в обратном направлении от равна где и значения средних квадратов электродвижущих сил разомкнутого контура, наведенных на соответственно. Так как оба проводника находятся при одной и той же температуре, потоки мощности в каждом направлении должны быть совершенно одинаковыми, иначе будет нарушен второй закон термодинамики; следовательно, средние квадраты напряжений и равны. Этот вывод имеет силу независимо от физической природы проводников; как указывал Найквист, один проводник может быть из свинца, а другой — из серебра, или один может быть металлическим, а

другой — электролитическим, и результат останется прежним. Более того, этот вывод справедлив не только для полной мощности, которой обмениваются проводники, но и для обменной мощности в любой полосе частот. Если бы это было не так, можно было между проводниками включить полностью реактивный» фильтр (т. е. содержащий только конденсаторы и индуктивности), полоса пропусканий которого охватывает частотный диапазон, где существует неравенство между потоками мощности в двух направлениях. Но, так как имеют одну и ту же температуру, это снова привело бы к нарушению второго закона термодинамики, и, следовательно, потоки мощности в обоих направлениях в любой полосе частот должны быть одинаковыми. Другими словами, спектр флуктуаций напряжения на сопротивлении — универсальная функция и частоты

Чтобы получить эту функцию, Найквист рассмотрел длинную линию передачи без потерь, замкнутую на концах проводниками (рис. Обозначим характеристический импеданс линии через ее длину — I и волновую скорость вдоль линии — с. Когда система находится в тепловом равновесии, существует поток энергии вдоль линии от и другой поток в обратном; направлении, от Эти потоки появляются благодаря тепловым флуктуациям носителей заряда в соответственно и в обоих случаях принимающий проводник поглощает энергию, которая на него приходит.

Мощность, отданная в линию одним из проводников в частотном интервале описывается формулой

где спектральная плотность флуктуаций напряжения на рассматриваемом проводнике. Время переноса вдоль линии определяется отношением и таким образом полная энергия, отданная в линию обоими проводниками за такой интервал времени, определяется выражением

Далее Найквист продолжил доказательство, считая линик передачи короткозамкнутой с обоих концов, так что энергия в ней содержится в виде стоячих волн. Частоты этих волн соответствуют собственным частотам линии. Таким образом, самая низкая частота колебаний, соответствующая волне напряжения; с узлом на каждом конце и пучностью посредине, равна Частота следующего режима колебаний, в котором узлы находятся на концах и один — в средине линии, равна вообще - собственные частоты линии равны где целое число

В частотном интервале количество мод колебаний, следовательно, равно (оно очень велико по сравнению с единицей, если предположить, что I может принимать бесконечно большие значения). Если считать, что имеем именно этот случай, и рассматривать каждую моду как степень свободы системы, можно прибегнуть к закону равномерного распределения, чтобы определить полную энергию в линии. При условии, что квантовомеханические эффекты несущественны, закон равномерного распределения энергии устанавливает, что в среднем энергия, связанная с каждой степенью свободы, равна где константа Больцмана, абсолютная температура системы. Таким образом, энергия в линии для частотного интервала имеет вид

Сравнивая это выражение для с предыдущим, получаем спектральную плотность флуктуаций напряжения разомкнутой цепи

что и является результатом Найквиста. Его можно обобщить на случай комплексного импеданса, если расширить проведенное выше доказательство, включив в рассмотрение простой контур. Тогда для спектральной плотности флуктуаций напряжения получают точно такой же вид, причем представляет в этом случае действительную часть импеданса. Таким образом, когда импеданс чисто реактивен и не имеет резистивной составляющей, шума нет. Этого следовало ожидать, так как в отсутствие сопротивления не может быть релаксации от возмущенного состояния назад к состоянию теплового равновесия. Соотношения между сопротивлением, релаксацией и шумом изучаются в где рассматривается метод Ланжевена для теплового шума.

При частотах и температурах, при которых имеют значение квантовомеханические эффекты, а именно когда квант энергии не является пренебрежимо малым по сравнению с закон равномерного распределения в описанном выше виде больше не выполняется. Найквист коротко остановился на этой проблеме в своем оригинальном исследовании теплового шума и предложил каждой степени свободы вместо приписывать в среднем энергию

которая уменьшается до в «классическом» приближении, когда Символами появляющимися выше, обозначены

константа Планка и частота соответственно. Выражение описывает энергию гармонического осциллятора, если не считать того, что в него не включен энергетический член в нулевой точке. В наши дни большинство авторов согласны с тем, что члев в нулевой точке следует включать в описание шума, что более полно обсуждается в гл. 11.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru