Приложение 2. Исследование по Найквисту теплового шума в сопротивлении

Спектральная плотность флуктуаций напряжения на сопротивлении, находящемся в тепловом равновесии с окружающей средой, первоначально была получена Найквистом [1] с привлечением методов термодинамики и статистической механики. Его исследование проблемы появилось вскоре после работы Джонсона, наблюдавшего тепловые флуктуации в сопротивлении, и результат, полученный Джонсоном, часто относят к закону Найквиста. Ниже описывается подход Найквиста к проблеме теплового шума.

Рис. П2.1. Равные сопротивления, соединенные параллельно.

Рис. П2.2. Линия передачи без потерь длины I, на концах замкнутая равными сопротивлениями

Первоначально он рассмотрел два электрических проводника, с одинаковым сопротивлением и при одной и той же температуре 0, равномерной по всему проводнику. Очевидно, что при параллельном соединении проводников, показанном на рис. электродвижущая сила, появляющаяся в результате теплового движения носителей заряда в вызывает в контуре ток, приводя к поглощению мощности проводником Аналогичный поток энергии существует и от Мощность от поглощаемая равна а в обратном направлении от равна где и значения средних квадратов электродвижущих сил разомкнутого контура, наведенных на соответственно. Так как оба проводника находятся при одной и той же температуре, потоки мощности в каждом направлении должны быть совершенно одинаковыми, иначе будет нарушен второй закон термодинамики; следовательно, средние квадраты напряжений и равны. Этот вывод имеет силу независимо от физической природы проводников; как указывал Найквист, один проводник может быть из свинца, а другой — из серебра, или один может быть металлическим, а

другой — электролитическим, и результат останется прежним. Более того, этот вывод справедлив не только для полной мощности, которой обмениваются проводники, но и для обменной мощности в любой полосе частот. Если бы это было не так, можно было между проводниками включить полностью реактивный» фильтр (т. е. содержащий только конденсаторы и индуктивности), полоса пропусканий которого охватывает частотный диапазон, где существует неравенство между потоками мощности в двух направлениях. Но, так как имеют одну и ту же температуру, это снова привело бы к нарушению второго закона термодинамики, и, следовательно, потоки мощности в обоих направлениях в любой полосе частот должны быть одинаковыми. Другими словами, спектр флуктуаций напряжения на сопротивлении — универсальная функция и частоты

Чтобы получить эту функцию, Найквист рассмотрел длинную линию передачи без потерь, замкнутую на концах проводниками (рис. Обозначим характеристический импеданс линии через ее длину — I и волновую скорость вдоль линии — с. Когда система находится в тепловом равновесии, существует поток энергии вдоль линии от и другой поток в обратном; направлении, от Эти потоки появляются благодаря тепловым флуктуациям носителей заряда в соответственно и в обоих случаях принимающий проводник поглощает энергию, которая на него приходит.

Мощность, отданная в линию одним из проводников в частотном интервале описывается формулой

где спектральная плотность флуктуаций напряжения на рассматриваемом проводнике. Время переноса вдоль линии определяется отношением и таким образом полная энергия, отданная в линию обоими проводниками за такой интервал времени, определяется выражением

Далее Найквист продолжил доказательство, считая линик передачи короткозамкнутой с обоих концов, так что энергия в ней содержится в виде стоячих волн. Частоты этих волн соответствуют собственным частотам линии. Таким образом, самая низкая частота колебаний, соответствующая волне напряжения; с узлом на каждом конце и пучностью посредине, равна Частота следующего режима колебаний, в котором узлы находятся на концах и один — в средине линии, равна вообще - собственные частоты линии равны где целое число

В частотном интервале количество мод колебаний, следовательно, равно (оно очень велико по сравнению с единицей, если предположить, что I может принимать бесконечно большие значения). Если считать, что имеем именно этот случай, и рассматривать каждую моду как степень свободы системы, можно прибегнуть к закону равномерного распределения, чтобы определить полную энергию в линии. При условии, что квантовомеханические эффекты несущественны, закон равномерного распределения энергии устанавливает, что в среднем энергия, связанная с каждой степенью свободы, равна где константа Больцмана, абсолютная температура системы. Таким образом, энергия в линии для частотного интервала имеет вид

Сравнивая это выражение для с предыдущим, получаем спектральную плотность флуктуаций напряжения разомкнутой цепи

что и является результатом Найквиста. Его можно обобщить на случай комплексного импеданса, если расширить проведенное выше доказательство, включив в рассмотрение простой контур. Тогда для спектральной плотности флуктуаций напряжения получают точно такой же вид, причем представляет в этом случае действительную часть импеданса. Таким образом, когда импеданс чисто реактивен и не имеет резистивной составляющей, шума нет. Этого следовало ожидать, так как в отсутствие сопротивления не может быть релаксации от возмущенного состояния назад к состоянию теплового равновесия. Соотношения между сопротивлением, релаксацией и шумом изучаются в где рассматривается метод Ланжевена для теплового шума.

При частотах и температурах, при которых имеют значение квантовомеханические эффекты, а именно когда квант энергии не является пренебрежимо малым по сравнению с закон равномерного распределения в описанном выше виде больше не выполняется. Найквист коротко остановился на этой проблеме в своем оригинальном исследовании теплового шума и предложил каждой степени свободы вместо приписывать в среднем энергию

которая уменьшается до в «классическом» приближении, когда Символами появляющимися выше, обозначены

константа Планка и частота соответственно. Выражение описывает энергию гармонического осциллятора, если не считать того, что в него не включен энергетический член в нулевой точке. В наши дни большинство авторов согласны с тем, что члев в нулевой точке следует включать в описание шума, что более полно обсуждается в гл. 11.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)