8.6 Метод линеаризации

Выражение (8.22) дает возможность понять общие черты выходного спектра шумового генератора. Для дальнейшего рассмотрения следует конкретизировать различные члены, появляющиеся в общем выражении, и решать нелинейное неоднородное уравнение (8.12). Решение находится методом линеаризации, в результате которой остаются только члены с комбинационными частотами, обусловленными взаимодействием шума с собственными колебаниями; сдвиг частоты, появляющийся из-за взаимодействия шума с самим собой очень мал, и им пренебрегают.

Начнем рассмотрение, записывая выходной сигнал генератора в виде суммы собственных колебаний и члена описывающего влияние шума

Из сравнения этого выражения с (8.13) видно, что «шумовой» член имеет вид

где и -медленно меняющиеся функции, описываемые выражениями

и

Если выражения (8.25) разложить в ряд до первого порядка переменных обнаружим, что таким образом, в этом приближении выходной шум в выражении (8.24) принимает вид

Здесь, конечно, подразумевается, что и много меньше единицы.

Вернемся к уравнению (8.12) и, подставив в него из выражения (8.23), получим

где опущена функциональная зависимость от и для удобства коэффициент а в разложении нелинейной проводимости [выражение (8.2)] считается равным нулю. (При этом общность не утрачивается, так как а не оказывает существенного влияния на выходное напряжение генератора.) Далее, первый член в фигурных скобках в уравнении (8.27) тождественно равен нулю [ср. с уравнением (8.3) для собственных колебаний], и, следовательно, уравнение для выходного шума, которое мы должны решить, приобретает вид

Заметим, что в этом уравнении благодаря нелинейному члену появляются слагаемые из сомножителей с взаимной модуляцией, связанных с взаимодействием шума с самим собой и с собственными колебаниями. Мы еще коснемся этого вопроса.

В отсутствие нелинейности (т. е. если бы было равно нулю) спектральная плотность шумового напряжения, полученная из уравнения (8.28), имела бы вид

где спектральная плотность генератора белого шума — внешняя добротность генератора. Очевидно, для данной грубой аппроксимации шум просто изменяет форму в результате узкополосной фильтрации контуром генератора. Этот вывод, однако, очень упрощен и должен видоизмениться, если учесть влияние нелинейного члена в уравнении (8.28).

Уравнение (8.28) становится понятнее, если линеаризовать нелинейный член. Все три члена, заключенные в круглые

скобки, вносят вклад в нелинейность, но два из них (второй и третий), содержащие шумовые флуктуации пренебрежимо малы по сравнению с первым, который описывает собственные колебания. Следовательно, нужно рассматривать только тот нелинейный член, который содержит произведение а это эквивалентно тому, что остаются для рассмотрения взаимодействия между собственными колебаниями и шумом, тогда как все взаимодействия типа шум — шум не принимаются во внимание.

Используя выражение (8.26) и представление собственных колебаний в виде а также записывая все тригонометрические функции в экспоненциальной форме, получаем следующую формулу для этого произведения

где

— медленно меняющаяся комплексная функция времени. Далее, если принять во внимание то, что нас интересуют только частоты, близкие к частоте собственных колебаний (так как контур генератора обладает высокой частотной избирательностью), становится очевидным, что три гармонических члена в выражении (8.30) дают незначительный вклад в выходной шум и, следовательно, ими можно пренебречь. Это позволяет записать выражение

где

После подстановки выражения (8.32) в уравнение (8.28) получаем

где вместо подставлено выражение (8.10). Уравнение (8.34)

— линейное дифференциальное уравнение для флуктуирующих процессов таким образом, сделан первый шаг в решении нелинейного дифференциального уравнения (8.28).

При анализе этих двух уравнений становится ясно, что нелинейный член в уравнении (8.28) эквивалентен вкладу в (линейный) резистивный член в уравнении (8.34). Это происходит из-за биений, возникающих между собственными колебаниями и шумом и описываемых формулой (8.32). Интересно заметить, что частотный сдвиг спектральных составляющих шума — явление исключительно нелинейное по своей сути: в линейных системах подобный эффект никогда не появляется.

Несмотря на линеаризацию дифференциального уравнения, описывающего выходной шум, еще остаются определенные трудности. Это понятно уже из вида уравнения (8.34), которое содержит два флуктуирующих процесса и полностью определяет существующие между ними амплитудные и фазовые флуктуации. Формальный подход к задаче заключается в построении двух совместных линейных дифференциальных уравнений из уравнения (8.34) с использованием ортогональности функций за один период. Эта достаточно долгая процедура в конечном итоге приводит к искомым решениям для AM- и ЧМ-спектров шума, а также для AM- и ЧМ-когерентности, что подробно изложено в приложении 5. Имеется другой, более короткий, но математически не строгий путь решения. Однако он приводит к верным формам спектра и хорошо иллюстрирует важные физические свойства спектров AM- и ЧМ-шума. Этот способ основан на предположении, что уравнение (8.34) можно решить относительно полагая равным нулю, и наоборот. Против этого способа, очевидно, можно выдвинуть возражение, а именно: получается, что вся энергия в идет, скажем, на амплитудные флуктуации, когда приравнивают нулю. Чтобы разрешить это противоречие, предположим, что средняя энергия в равномерно распределена между [ситуация, соответствующая введению множителя в член источника, когда уравнение (8.34) разделяют на AM- и ЧМ-компоненты]. Упрощенный анализ приводит затем к верным спектральным плотностям для AM- и ЧМ-шума, что можно подтвердить сравнением с полученными более строгим путем результатами в приложении 5.