11.4. Теорема Найквиста и квантовая механика

В своем рассмотрении теплового шума Найквист [9] воспользовался приемом, заключающимся в анализе обмена энергией между двумя электрическими проводниками, соединенными идеальной передающей линией без потерь и находящимися в состоянии равновесия при температуре 0. Используя теорему о

равнораспределении, согласно которой на каждую степень свободы приходится энергия мы приходим к выражению (11.1) для флуктуаций напряжения на сопротивлении приложение 2). Если квантовыми эффектами можно пренебречь, т. е. частота и температура таковы, что квант энергии много меньше тепловой энергии то справедлива теорема Найквиста. Напротив, если необходимо воспользоваться обобщенной формой теоремы.

Найквист сам указал на это обстоятельство и предположил, что вместо энергии используемой в теореме о равнораспределении, в общем виде средняя энергия, приходящаяся на степень свободы, должна описываться выражением

которое переходит в если Это — средняя энергия гармонического осциллятора без учета члена, связанного с энергией нулевых колебаний При его учете спектральная плотность флуктуаций напряжения выражается в обобщенной фэрме

которая сводится к известной формуле Найквиста (11.1), когда можно пренебречь квантовыми эффектами. Из уравнения (11.20), как легко показать, следует, что номинальная мощность шума, приходящаяся на интервал частот описывается формулой

Некоторые сомнения о включении члена с нулевой энергией в уравнения (11.20) и (11.21) высказывались Мак-Дональдом [8], который указал, что его присутствие предполагает в принципе возможность извлечения энергии из флуктуаций в пределе абсолютного нуля, что является неприемлемым.

Казалось бы, довод Мак-Дональда представляет серьезное препятствие для включения члена с нулевой энергией в выражение для теплового шума. Но он основывается на понятии мощности, выделяемой в согласованной нагрузке, которая интерпретируется в «классическом» смысле, т. е. предполагается, что флуктуации подаются в нешумящую нагрузку. Однако в случае, когда важна конечная величина нагрузка (как и источник) является объектом квантовой природы и обязательно

генерирует шум. Существование нижнего квантового предела для шума в системе рассматривалось для случая линейного усилителя в разд. 11.3. В низкотемпературном пределе это обусловливает компенсацию потока мощности шума от сопротивления источника в нагрузку равным, но противоположным потоком от нагрузки к источнику. Таким образом, энергия нулевых флуктуаций сопротивления источника ненаблюдаема, не существует никакой возможности выделить чистый поток шумовой мощности от прибора, который мог бы использоваться, например, для приведения в движение другой системы. Этот аргумент подчеркивает важный фундаментальный принцип квантовой механики: поведение физической величины может быть определено, если только принят во внимание способ, посредством которого она наблюдается.

Очевидно, что включение члена с нулевой энергией в выражение, подобное уравнению (11.20), описывающее спонтанные флуктуации, не подразумевает физически несостоятельное поведение в низкотемпературном пределе. Следует заметить, что это заключение не умаляет значения проблемы, поднятой МакДональдом в начале 1960-х гг., и что в его статье поставлено много интересных вопросов, касающихся применения квантовой механики к проблемам, включающим тепловой шум, броуновское движение и необратимость,

Из обсуждения пока что следует, что член с нулевой энергией включается в выражение для шума, что называется «с потолка». Тот факт, что это не приводит к нежелательным последствиям при нулевой температуре, не доказывает необходимость его введения. Общее доказательство справедливости уравнения (11.20) было дано Калленом и Вельтоном [1] на основе расчета испускания и поглощения квантов энергии электронами в сопротивлении. Это доказательство интересно тем, что оно не опирается на произвольное введение члена с нулевой энергией, и не делается никаких ссылок на понятие нулевой энергии, хотя в окончательном результате появляется член

В большинстве практических задач влияние нулевой энергии на шум не проявляется. Однако при расчете теплового шума в мазере важно учитывать член с нулевой энергией, по крайней мере при теоретическом анализе, так как в этом случае результат допускает простую физическую интерпретацию (разд. 11.6) Что касается измерений спектральной плотности теплового шума в области, где необходимо применять квантовые модификации теоремы Найквиста, то они в настоящее время автору не известны. Ситуация может измениться благодаря проводимым в Университете Флориды экспериментам с радиочастотным контуром типа Ханбури-Брауна - Твисса,

работающим на частоте Их целью является измерение теплового шума при условии и обеспечение, таким образом, экспериментального исследования формы его спектральной плотности в случае, когда нельзя пренебречь квантовыми эффектами.