2.11. Функция Макдональда

Ковариация нестационарного кумулятивного процесса определенного в выражении (2.62), может быть выражена в терминах спектральной плотности стационарного процесса Это верно, даже если не является процессом Винера — Лёви.

Имеется соотношение

где - спектральная плотность Выражение (2.71) получается, если записать ковариацию в виде

где автокорреляционная функция флуктуаций тока. Применяя теорему Винера — Хинчина, записывают в обозначениях интеграла обращения по частоте, содержащего в подынтегральном выражении. Изменяя порядок интегрирования и интегрируя по получают выражение (2.71). Когда формула (2.71) переходит в выражение

которое впервые было получено Макдональдом [14]. В случае процесса Винера — Лёви не зависит от частоты и может быть вынесена за знак интеграла в выражениях (2.71) и (2.73). Производя интегрирование, получаем подтверждение равенства (2.66). В результате имеем

где вместо подставили выражение Найквиста. Это результат Эйнштейна, записанный также в выражениях (2.64) и (2.67), хотя и получен другим путем.

Выражение (2.71) дает регулярный способ вычисления ковариации процесса случайного блуждания, независимо от формы спектра стационарного процесса, для которого ее выводили. Тогда можно, как показано выше для частного случая процесса Винера — Лёви, получить автокорреляционную функцию и спектральную плотность нестационарных флуктуаций. Иным образом, можно выразить как интеграл, включающий в основную формулу, сходную с выражением (2.71) для ковариации. Однако этот способ содержит громоздкие алгебраические преобразования и поэтому не очень эффективен.