2. Математические методы

2.1. Введение

Шумы в электронных устройствах обычно наблюдаются в случайно изменяющейся функции времени. Такая функция лзвстна под названием стохастического процесса, и, так как мгновенные значения этой функции непредсказуемы, ее описывают с точки зрения средних или статистических свойств, которые могут проявиться лишь при очень большом числе наблюдений.

Обычно шумы наблюдают в виде случайных флуктуаций либо напряжения на клеммах прибора, либо проходящего через прибор тока. Как правило, шумы можно объяснить поведением микроскопическом уровне носителей заряда внутри прибора, это означает, что наблюдаемые флуктуации будут очень малы отношению, скажем, к уровню обычного сигнала генератора импульсов. Таким образом, шумы в активном устройстве обычно создают лишь чрезвычайно малые отклонения от рабочей точки, и в этом случае к шумовым флуктуациям можно применить теорию малых сигналов. Поэтому в большом числе случаев шумы усилителя можно исследовать, используя хорошо известные методы теории линейных систем (исключение составляют шумы в параметрических усилителях).

Большинство рассматриваемых здесь стохастических процессов статистически стационарны, т. е. их статистические свойства не зависят от интервала времени, на котором они изменяются. Существуют две степени статистической стационарности: в узком смысле и широком смысле, различие между которыми проявляется, лишь начиная с вероятностных характеристик третьего порядка. Процесс, стационарный в узком смысле, стационарен также и в широком смысле, в то время как обратное утверждение не всегда истинно. Примером, когда оно истинно, служат процессы, функция амплитудной вероятности которых является нормальным, или гауссовским, распределением: вероятностные характеристики высокого порядка для этих процессов полностью определяются характеристиками первого и второго порядков. Гауссовские процессы чрезвычайно важны в связи с шумами в электронных устройствах, где они часто встречаются. В качестве примеров можно назвать тепловой шум и дробовой шум; начиная с исследований Белла [1], получено большое

число убедительных данных, что -шум также имеет нормальное распределение.

Математический анализ стохастических процессов имеет дела с вероятностными характеристиками во временном и частотном интервалах. (Спектральный состав шумов в электронных компонентах важен для конструктора, так как часто цель его — минимизировать шумы в интересующей его конкретной области.) Помимо среднего значения (первый порядок), основными статистическими характеристиками, используемыми для описания шумового процесса, служат спектральная плотность, дающая среднюю спектральную составляющую флуктуирующего сигнала, и автокорреляционная функция, которая дает возможность определить меру времени корреляции, или «память» процесса. Обе эти характеристики — второго порядка и в случае статистически стационарного процесса однозначно связаны через теорему Винера — Хинчина. Для нестационарных процессов можно получить обобщенный вид этой теоремы, а расширенный вариант теоремы Винера — Хинчина выражает однозначное соотношение, связывающее взаимную корреляционную функцию и взаимную спектральную плотность двух статистически стационарных процессов.

Развитие этих теорем опирается на испытанный фундамент аналитического метода Фурье. В обосновании наиболее важных приемов анализа Фурье важную роль играет дельта-функция Дирака, принадлежащая классу обобщенных функций. Она также весьма полезна для математического описания некоторых шумовых сигналов. В качестве вступления к рассмотрению метода Фурье и его применения к шумовым процессам установим некоторые свойства дельта-функции.