Приложения

Приложение 1. Тепловой шум и распределение Пуассона

Шумовые процессы, встречающиеся в твердотельных и других приборах, часто можно представить в виде последовательностей случайных импульсов. Это верно, например, для теплового и дробового шумов, как было показано в гл. 2. Чтобы исследовать статистические свойства таких процессов, возьмем для определенности модель теплового шума, описанную в разд. 2.8.

Тепловой шум в резистивном Материале происходит от вызванного нагреванием случайного движения электронов внутри прибора. Шум на клеммах можно представить как последовательность случайных импульсов, в которой каждый отдельный импульс вызван «событием», состоящим из начального этапа, соответствующего пробегу электрона между последовательными столкновениями с атомами кристаллической решетки, и последующей релаксации, возвращающей систему в состояние равновесия. Из этого ясно, что каждый электрон в ансамбле производит последовательность случайных импульсов на клеммах во время своего перемещения по материалу и наблюдаемый шумовой сигнал складывается из последовательностей импульсов от всей популяции электронов в приборе.

Представим себе, что можем следовать за отдельным, например, электроном при его движении по извилистой траектории через решетку. Каждое столкновение, которое он испытывает, соответствует началу «события», и столкновения происходят случайно. В этом контексте «случайно» означает, что вероятность обнаружения начала события, происходящего между очень мала и не зависит от а «очень мала» означает, что вероятностью обнаружения двух событий внутри интервала можно пренебречь. Если вероятность обнаружения начала события внутри интервала равна где не зависит от то необходимые для случайности условия удовлетворяются, если устремить к нулю. Константу можно затем рассматривать как функцию плотности вероятности, и, как сейчас будет показано, она играет заметную роль в распределении Пуассона.

Распределение Пуассона — это статистический закон, описывающий вероятность точно событий (т. е.

столкновений в случае нашего электрона), происходящих в интервале когда сами события распределены случайно в значении, описанном выше. Индекс употреблен здесь как напоминание о том, что рассматривается единственный носитель. Следующее простое рассуждение приводит к дифференциальному уравнению, из которого можно вывести основное выражение для

Возможны только два способа, которыми могут осуществляться точно событий на интервале времени либо событий происходит за время и ни одного — за либо событие происходит за время и одно — за Следовательно, вероятность событий за время есть сумма

и, конечно, для Теперь, так как переменная непрерывна, можно взять производную от по времени

которая в сочетании с предыдущим выражением приводит к дифференциальному уравнению

Когда оно упрощается до уравнения

решением которого является функция

Константа интегрирования, на которую умножается правая часть, равна единице, согласно тому, что в нулевой момент времени вероятность нулевого числа событий равна единице. При ищем решения в виде

Подставляя это выражение в уравнение получаем, что функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению

решения которого записываются в виде

Помня о том, что легко показать, что константа интегрирования должна быть и отсюда следует формула для распределения Пуассона

Заметим, что при суммировании по всем результат не зависит от и равен единице.

Смысл константы проясняется при образовании первого момента относительно начала (т. е. среднего значения) распределения. Обозначая его через имеем

Таким образом, равно средней скорости появления событий.

Дисперсия распределения — это второй момент относительно среднего:

После некоторых непосредственных алгебраических преобразований сумму в этой формуле можно выразить через экспоненциальную функцию и дисперсия принимает вид

Отсюда очевидно, что среднеквадратичное отклонение относительно среднего значения равно корню квадратному из среднего значения — результат, характеризующий распределение Пуассона и иногда называемый «законом больших чисел».

Важным параметром, связанным с движением электрона по резистивному материалу, является среднее время свободного пробега Когда по определению имеем и из равенства следует

что согласуется с нашей прежней интерпретацией как средней скорости столкновений.

Другой способ получения среднего времени свободного пробега заключается в следующем. Вероятность того, что данное время свободного пробега находится между равна совместной вероятности того, что не происходило столкновений время и того, что происходит одно

столкновение в (малом) интервале Вероятность столкновения в интервале равна и, следовательно, совместная вероятность имеет вид

где — вероятность, задаваемая выражением того, что нет событий за время Функция справа в формуле — функция плотности вероятности времен свободного пробега, и, следовательно, среднее время свободного пробега описывается формулой

что согласуется с уравнением Функцию плотности вероятности времен свободного пробега можно также использовать для получения среднеквадратичного времени свободного пробега

Таким образом, среднеквадратичное время свободного пробега электрона есть удвоенный квадрат среднего времени свободного пробега — результат, который был использован при рассмотрении подвижности в приложении 3. Интегралы в формулах вычисляют интегрированием по частям.

Форма сигнала теплового шума, наблюдаемая на клеммах прибора, не является результатом движения только одного электрона, а является результатом движений ансамбля электронов внутри прибора. Выше мы видели, что шумовой сигнал, обусловленный единственным электроном, представляет собой последовательность импульсов, подчиняющихся распределению Пуассона. Шум от всех электронов в популяции — последовательность импульсов, которая является суперпозицией всех сигналов от отдельных электронов. Сейчас мы проанализируем статистическое распределение импульсов в результирующих шумовых флуктуациях на клеммах.

Рассмотрим два электрона в резистивном материале, например, с вероятностями столкновения в интервале времени соответственно. (Дальше будем более реалистично, хотя и в ущерб общности, считать, что для всех Запишем вероятность того, что электрон испытывает

столкновений и электрон столкновений за время

Отсюда вероятность точно столкновений за время получается суммированием выражения по всем от нуля до

По биномиальной теореме сумма в правой части равна и, следовательно,

а это по аналогии с определением — распределение Пуассона. Приходим к выводу, что сумма двух пуассоновских процессов сама по сути пуассоновская, со средней скоростью событий, равной сумме средних скоростей обоих составляющих процессов. Отсюда следует, что, если складываются пуассоновских процессов, вероятность того, что точно событий происходят за время описывается распределением Пуассона:

где

Формулы представляют собой дополнительную теорему для пуассоновских процессов.

Статистически электроны в резисторе ведут себя идентично. Таким образом, средняя скорость столкновений для отдельного носителя не зависит от того, какой именно носитель находится под наблюдением. Тогда из формулы (помня, что -равно обратному среднему времени свободного пробега) получаем простое выражение для средней скорости событий

где концентрация носителей; V — объем прибора, а среднее время свободного пробега электронов. Результат используется при рассмотрении в гл. 2, разд. 2.8.