Приложение 3. Подвижность, броуновская скорость и диффузия

Подвижность электронов (или дырок) описывает макроскопический поток носителей в электрическом поле. Ее можно выразить через некоторые параметры (например, среднее время пробега между столкновениями с решеткой), характеризующие микроскопические свойства ансамбля носителей. Доказательства основано на модели классической частицы (электрона), и для простоты выбирается одномерная модель резистора.

Предположим, что к резистору приложено электрическое поле напряженностью Е. Пусть поле мало настолько, что оно не изменяет значительно равновесное распределение электронов по скоростям. Популяции электронов этим полем будет сообщена средняя скорость дрейфа, равная где подвижность.

Чтобы связать с параметрами микроскопического движения электронов, рассмотрим столкновения, испытываемые отдельной частицей. Между двумя столкновениями она движется с ускорением в направлении поля, где масса частицы. Следовательно, если время свободного пробега смещение под действием поля равно и отсюда полное перемещение частицы под действием поля после К столкновений, равно где средний квадрат времени свободного пробега. Средняя скорость дрейфа частицы через К столкновений равна полному перемещению, деленному на полное время, т. е.

где - среднее время свободного пробега. Так как отсюда следует, что подвижность имеет вид

Далее, времена свободного пробега распределены по Пуассону и как показано в приложении 1. Таким образом, подвижность описывается формулой

Если — тепловая скорость частицы между столкновениями, то длина свободного пробега При условии независимости между тепловой скоростью и временем свободного пробега получаем

средний квадрат длины свободного пробега, средний квадрат тепловой скорости. Из закона равномерного распределения энергии для одномерного резистора при тепловом равновесии с окружающей средой имеем

где константа Больцмана и — абсолютная температура. Рассматривая совместно выражения можем выразить подвижность в виде

Эта формула для используется при выводе теплового шума в гл. 2 (разд. 2.8).

Шокли [1] дал расширенное исследование подвижностей, средних времен и средних длин свободного пробега, включив анализ, основанный на модели частицы, описанной выше.

Флуктуации скорости ансамбля электронов ответственны за тепловой шум в резисторе. Хотя тепловые флуктуации тока и напряжения на клеммах прибора рассматриваются в гл. 2 (разд. 2.8), тем не менее полезно специально проанализировать сами флуктуации скорости.

Рассмотрим электрон, который подвергается столкновению с решеткой. Его импульсы до и после события равны соответственно. Таким образом, столкновение за бесконечно малое время придает частице импульс Это соответствует силе Следовательно, уравнение движения имеет вид

где - скорость частицы. Уравнение существу уравнение Ланжевена для скорости броуновской частицы.

Применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения и переставляя слагаемые, находим преобразование

где среднее время свободного пробега, описываемого выражением Используя теорему Карсона, получаем спектральную плотность флуктуаций скорости в виде

где средняя скорость столкновений для единственной частицы, а

— фурье-преобразование функции формы импульса, вызванного единичным столкновением. Так как независимы, то

где положили Для равновесной популяции из закона равномерного распределения для одномерного случая имеем

и, следовательно, спектральная плотность тепловых флуктуаций скорости принимает вид

где использовали выражение для подвижности Из теоремы Винера — Хинчина следует, что соответствующая автокорреляционная функция имеет вид

где

— значение среднего квадрата

Тепловые флуктуации скорости, описываемые формулам» ответственны за диффузию частиц через резистивный материал. Шокли с сотр. [2] связали диффузию скоростью в исследовании, которое одинаково для неравновесного и равновесного ансамблей. Они определили диффузию величины и при (угловой) частоте со как

где — автокорреляционная функция флуктуаций скорости, но она больше не соответствует исключительно равновесному условию в отличие от формулы в данном случае может быть и автокорреляционной функцией неравновесного ансамбля. При сравнении определения с интегралом обращения Винера — Хинчина по становится ясно, что эквивалентна спектральной плотности флуктуаций скорости, деленной на 4. Следовательно, из формулы для частного случая теплового равновесия имеем

что переходит в соотношение Эйнштейна, если отождествить с более привычной константой диффузии Из выражений следует, что для одномерного движения

Общий вид для в формуле важен для анализа шума в приборах на горячих электронах, где носители заряда не находятся в тепловом равновесии с решеткой.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)