2.3. Преобразование Фурье

Преобразование Фурье (двустороннее) функции имеет

где может быть либо действительным, либо комплексным. Необходимое и достаточное условие существования состоит в том, что должна быть абсолютно интегрируема; таким образом,

что эквивалентно требованию ограниченности полной энергии в

Это условие не удовлетворяется, когда стационарный стохастический процесс, так как такой процесс не затухает до нуля при Может показаться, что это служит серьезным препятствием для анализа шума методом Фурье и, следовательно, создает концептуальную трудность в определении спектральной плотности случайного процесса. Действительно, вопрос о том, можно ли анализировать шум, применяя метод Фурье, однажды остро дебатировался в литературе. Эта трудность была в конечном итоге преодолена с помощью следующего доказательства.

Полная энергия в стационарном процессе бесконечна потому, что сигнал действует бесконечно долго. Но мощность (т. е. энергия в единицу времени) в этом процессе ограниченна, и, конечно, на практике время наблюдения также всегда ограниченно. Если время наблюдения равно то наблюдаемая флуктуация, скажем равна в пределах интервала наблюдения и равна нулю вне этих пределов. Следовательно, ступенчатая функция абсолютно интегрируема, и ее фурье-преобразование действительно, существует. Спектральная плотность для полученная из в большинстве практически важных случаев в пределе при стремится к единственно возможной предельной форме. Эта предельная функция интерпретируется как спектральная плотность исходного стационарного процесса Подробности перехода к пределу описаны в разд. 2.5, а сейчас достаточно заметить, что анализ Фурье применим к стохастическим процессам и нет веской причины, запрещающей определение спектральной плотности такого процесса.

Обращение интегрального преобразования (2.10) дает выражение

которое справедливо для всех при условии, что непрерывна. Если имеет разрыв при то в этой точке интеграл обращения равен среднему арифметическому от В общем случае, следовательно, выражение (2.12) справедливо для всех если положить, что

Формулу обращения получают, взяв интеграл в выражении (2.12) в пределах подставив величину из формулы (2.10) и изменив порядок интегрирования:

В пределе при это выражение принимает вид

где подставлена дельта-функция из формулы (2.9) и использовано ее основное свойство (2.5). Равенство (2.15) представляет собой искомое выражение для интеграла обращения.

Ядром интеграла обращения служит функция пользуемая для представления гармонических колебаний. Таким образом, естественно интерпретировать функцию как амплитудный спектр для дающий меру вклада в гармоник с угловыми частотами между и Вообще комплексное число, и отношение между его действительной и мнимой частями характеризует фазу гармонической составляющей на угловой частоте

Если — действительная функция, что всегда выполняется в случае реально наблюдаемого процесса (сигнала), преобразование Фурье для этой функции имеет сопряженную симметрию:

где звездочка означает комплексное сопряжение. Тогда отсюда следует, что и действительная часть четные функции от и что мнимая часть нечетная функция! от со. Если является четной функцией от выражение (2.10) принимает вид

а если - нечетная функция от преобразование можно представить в виде

Интегралы в выражениях (2.17а) и (2.176) — это косинус- и синус-преобразования Фурье соответственно.

Функции — партнеры в анализе Фурье и вместе образуют пару Фурье-преобразований. Их взаимосвязь удобно обозначить символом который служит кратким способом записи интегральных преобразований (2.10) и (2.12). Очевидно, что в этой записи с учетом основного свойства дельта-функции получаем

или в более общем виде

где фиксированный момент времени, в который

наблюдается импульс. Результат, аналогичный выражению (2.186), получают из интеграла обращения, положив где — фиксированная угловая частота. Для этого случая наводим

Из этого выражения, считая сначала со положительной величиной, а затем отрицательной, легко получить, что

Таким образом, каждое из преобразований косинусоидальных и синусоидальных функций состоит из двух дельта-функций, симметрично расположенных относительно точки отсчета на частотах, численное значение которых равно частоте самих гармонических функций.

Часто требуется найти преобразование производной Его находят, интегрируя по частям определяющий интеграл (2.10). Полагая при приходим к выражению

которое после применения аналогичных операций можно обобщить на случай производной. Получаем результат

который имеет смысл при условии, что все интегрируемые выражения исчезают при

Свойства интеграла Фурье подробно рассмотрел Титчмарш в монографии [21], а Популис [17] показал возможности метода преобразования Фурье для широкого круга физических задач.