6.2. Масштабная инвариантность

Форма сигнала «истинного» -шума характеризуется функцией спектральной плотности, у которой

где с не зависит от частоты. Эта спектральная форма оживленно обсуждается в литературе главным образом в связи с обоснованием общих предположений о гипотетическом низкочастотном пределе, ниже которого эта функция уже неприменима для описания шумового процесса. Предпринимались большие усилия для нахождения этого предела, но он так и не был обнаружен. Монсуар с сотр. [49] провели измерения -шума у МОП ПТ вплоть до частоты Гц, а Калоянидис [15] выполнил аналогичные измерения на полупроводниковых материалах вплоть до частоты , однако серьезного отклонения от закона во всех случаях обнаружено не было.

Существование данного предела со стороны низких частот следует из того, что при его отсутствии интегральная интенсивность спектра, имеющего вид, определяемый уравнением (6.1), будет бесконечно большой. В самом деле, обе (высокочастотная и низкочастотная) предельные области спектров такого вида приводят к неопределенности, но в первом случае такая трудность легко разрешима, если считать, что существует высокочастотный предел, определяемый собственными временными характеристиками любого механизма, обусловливающего данный шум, или системы, в которой он возникает, выше которого закон, описываемый уравнением (6.1), не выполняется; вместо этого спектральная кривая будет спадать, по крайней мере по закону . В противоположность этому неопределенность, связанную с низкочастотной областью, нельзя ликвидировать, привлекая какие-либо обоснованные физические аргументы, по крайней мере те, которые известны в настоящее время. Важно, однако, и не переоценивать значение этой неопределенности, являющейся по характеру логарифмической; как отмечено ниже, нельзя ожидать, что она явится реальным препятствием, поскольку нет никакой причины полагать, что низкочастотный

предел применимости закона может быть достигнут в -ступном для измерений диапазоне частот.

До того, как продолжить рассмотрение вопроса о том, как ведет себя -шум на низких частотах, имеет смысл обсудить интегральную мощность в интервале (положительных) угловых частот

Полученный простой результат показывает, что для определенного значения отношения частот интегральная мощность является постоянной. Следовательно, полная мощность шума, например, в диапазоне 0,1 — 1 Гц равна мощности шума в диапазоне 1 —10 Гц или 10—100 Гц, т. е. между любыми частотами, отличающимися на порядок. Подобное свойство -шума носит название масштабной инвариантности.

Если в уравнении (6.2) устремить частоту к бесконечности и при этом оставить частоту постоянной и конечной величиной, то легко видеть, что выражение для полной мощности спектра имеет логарифмическую расходимость. По причине, которая была указана выше, в этом случае нет существенных затруднений, потому что распространение закона на бесконечно большие частоты не имеет физического смысла. Если же в уравнении (6.2) частоту устремить к нулю и при этом оставить частоту постоянной и конечной величиной, та выражение для полной мощности спектра стремится к бесконечности логарифмически, но в этом случае физически обоснованной причины для ограничения мощности установить столь же легко нельзя.

Рассмотрим следующий вопрос: препятствует ли расхождение полной мощности спектра в низкочастотном пределе справедливости закона вплоть до нулевой частоты? Можно показать, что не препятствует, так как любое измерение шума производится за время, которое, как бы велико оно ни было всегда будет конечным по своей продолжительности. Это означает, что самая меньшая измеренная частота, насколько мала бы она ни была, будет всегда ограниченной. И неизбежное следствие этого состоит в том, что нет в принципе причины, почему частотная зависимость для данного шума должна была бы переходить в более слабую ниже некоторой предельной частоты; бесконечность, которая может проявляться только при наблюдениях за бесконечно большой отрезок времени не сможет служить причиной для волнений.

Несколько отличный взгляд на вопрос о пределах справедливости закона был изложен в работе Флина [21]; в ней

автор сделал попытку дать количественную оценку по порядку величины частотного интервала, в котором спектральная зависимость может иметь место. Он определил верхний предел на уровне 1023 Гц, исходя при этом из времени прохождения светом расстояния, равного классическому радиусу электрона, а нижний частотный предел — на уровне Гц, что связано с оценочным возрастом вселенной. Весь интервал перекрывает 40 декад, он громаден и, конечно, выходит за возможности экспериментальных исследований. Но полное среднеквадратичное значение -флуктуации равно только раз, т. е. меньше одного порядка. Флин воспользовался экспериментальными данными Брофи [12] и получил цифру для полной мощности шума, соответствующей всему частотному интервалу, т. е. 40 декадам, что на 6 порядков меньше, чем входная мощность постоянного тока которая использовалась в эксперименте Брофи. Видно, что даже при подобной экстремальной оценке полная мощность такого шума является незначительной по сравнению, например, со значением подводимой мощности постоянного тока, которая использовалась в этом эксперименте. И по-видимому, не остается практических оснований ожидать, что зависимость окажется непригодной ниже какого-то определенного значения частоты, находящегося в доступном для эксперимента диапазоне.