1. Введение

На клеммах электронных устройств и систем наблюдаются случайные флуктуации напряжения (или тока), и эти флуктуации обычно называют шумом. Этот шум не обусловлен, например, дефектом контактов или каким-либо другим устранимым паразитным эффектом, а присущ самой системе. Он зарождается в результате случайного (на микроскопическом уровне) поведения носителей заряда внутри электронных составляющих систем. Именно такой тип шума будет в основном рассматриваться в этой книге.

Шумящий электронный прибор с парой входных и парой выходных клемм (т. е. четырехполюсник) представлен на рис. 1.1, а. Шум может обусловливаться наличием внутри системы одного или более источников. Удобный способ представления системы с шумом иллюстрируется на рис. 1.1,б, на котором изображен свободный от шума многополюсник, а шум представлен шумовыми генераторами тока на входе и на выходе. Эти два генератора тока могут обладать некоторой степенью корреляции, так как механизмы, приводящие к появлению шума на обоих концах, могут иметь некую общую природу. Альтернативное представление системы с шумом показано на рис. 1.1, в, на котором сама схема также свободна от шума, но в данном случае шум представлен шумовыми генераторами напряжения на входе и на выходе (которые могут коррелировать между собой).

Чтобы конкретизировать шумовые генераторы на входе и выходе, необходимо знать подробности схемы и характеристики внутренних источников шума. Здесь внутренние источники связаны с электронными устройствами внутри системы и, вообще говоря, сильно зависят от прибора, несмотря на то что физические механизмы, ответственные за этот шум, могут быть общими для целого круга устройств. Много места в книге уделяется механизмам возникновения шума и связанным с ними шумовым генераторам в конкретных устройствах. Основной акцент делается на твердое тело, так как шумы в вакуумных трубках подробно рассмотрены в других работах (например [1]).

Рис. 1.1. Четырехполюсник с шумом (а) и две эквивалентные схемы, в которых шум представлен генераторами тока на входе и выходе (б) и генераторами напряжения на входе и выходе (в).

Шумы в электронных схемах обычно рассматриваются как вредный фактор, и, действительно, они часто накладывают ограничения на работу устройств. Это справедливо, например, в случае малошумящего усилителя звуковой частоты, в котором минимальная обнаруживаемая мощность входного сигнала зависит главным образом от уровня шумов входного каскада. Однако шум не всегда нежелателен. Известны ситуации, когда присущий системе шум можно использовать как средство для исследования электрических характеристик самой системы. Это может быть в случае, когда, например, требуется измерить проводимость ионного раствора. Обычно такое измерение необходимо проводить, помещая кювету с раствором в электрическое поле. Трудность заключается в том, что при некоторых условиях под действием поля может возникнуть диссоциация молекул, которая в свою очередь влияет на проводимость. Другой способ заключается в измерении шума на клеммах кюветы с образцом в состоянии равновесия (т. е. в отсутствие электрического поля), по величине которого можно судить о проводимости.

Возможно, что двумя наиболее часто встречающимися разновидностями шумов являются тепловой и дробовой. Тепловой шум возникает вследствие случайных флуктуаций скорости носителей заряда [электронов и (или) дырок] в резистивном

материале. Этот механизм иногда относят к броуновскому движению носителей заряда, обусловленному тепловой энергией в материале. Тепловой шум присутствует в системе, когда резистивный элемент находится в тепловом равновесии с окружающей средой, и часто при первом рассмотрении его отождествляют с шумом Джонсона [3]. Флуктуации теплового характера можно рассматривать как механизм, с помощью которого сохраняется тепловое равновесие: за случайным (микроскопическим) отклонением от этого состояния следует, в среднем, возвращение к нему, и очень большое число таких микроскопических «событий» ведет к резкому изменению тока или флуктуациям напряжения на клеммах. Согласно этой точке зрения, форма сигнала тока или напряжения теплового шума должна состоять из очень большого числа отдельных импульсов, связанных с дискретными «событиями», происходящими в резистиёном материале.

Дробовой шум связан с прохождением тока через барьер, и в этом смысле он является неравновесной разновидностью шума. Впервые он был рассмотрен Шотки [7], который использовал аналогию мелкой дроби, сыплющейся в контейнер. Дробовой шум или по крайней мере шум, похожий на дробовой, часто встречается в твердотельных устройствах каждый раз, когда ток проходит через потенциальный барьер (например, в обедненном слое -контакта). Детали физического механизма, лежащего в основе дробового шума, будут рассмотрены ниже. Природу дробового шума, возможно, легче понять, если исследовать термоэлектронный диод, в котором электроны эмитируют из катода случайным образом и затем перемещаются к аноду под действием электрического поля. Ток, создаваемый этим потоком электронов, флуктуирует случайно около среднего уровня, причем эти флуктуации (т. е. дробовой шум) возникают благодаря случайной дискретной природе эмиссии.

Очевидно, что физическая природа теплового и дробового шума различна, но структура шумовых сигналов обоих типов похожа: оба сигнала можно представить как последовательность случайных импульсов, похожих по форме и случайно распределенных во времени. Пример такой последовательности импульсов, спадающих по экспоненте, представлен на рис. 1.2. В контексте данной книги термин «случайные» означает, что дискретные события, создающие импульсы, независимы и статистический закон, описывающий распределение этих событий во времени, — это функция плотности вероятности Пуассона.

Рис. 1.2. Схематическая иллюстрация случайной последовательности импульсов (а) и часть сигнала, сильно увеличенная, чтобы показать эффект наложения отдельных импульсов (б).

Распределение Пуассона и условия, при которых оно имеет место, обсуждаются в приложении 1.

Если форма шумового сигнала описывается функцией а форма отдельного импульса — функцией для в предположении, что событие, вызывающее появление импульса, происходит при и система причинна], то случайная последовательность импульсов есть линейная суперпозиция

где амплитуда импульса в этой последовательности, момент времени, в который происходит событие. Распределение подчиняется закону Пуассона. Форма шумового сигнала, описываемая выражением (1.1), обладает некоторыми интересными свойствами, подробно рассматриваемыми в гл. 2. В частности, спектральную плотность можно представить в виде

Это утверждение известно как теорема Карсона [5]. В выражении (1.2) со — угловая частота, -преобразование Фурье функции формы отдельного импульса, средняя

частота событий, значение среднего квадрата амплитуд импульса, а черта над левой частью выражения означает усреднение для большого числа испытаний (т. е. среднее по множеству).

В особом случае, когда составляющие последовательности импульсов чрезвычайно малы, функция формы отдельного выброса представляется импульсом бесконечно малой ширины. Последовательность случайных импульсов в этом случае считается импульсным процессом [2]. Поскольку фурье-преобразование одного импульса равно единице, из уравнения (1.2) имеем спектральную плотность импульсного процесса:

Это важный результат, показывающий, что спектр импульсного процесса постоянен для всех частот вплоть до неограниченно высоких. Такой спектр иногда называют «белым».

Импульсы, возникающие в результате дискретных событий, вызывающих тепловой и дробовой шум, имеют постоянные (равномерные) спектральные плотности до очень высоких частот («очень высокие» означают величины, сравнимые с величинами, обратными фактической ширине импульса). Уровень спектральной плотности в обоих случаях, т. е. значение правой части уравнения (1.3), определяется из рассмотрения физики механизмов шума.

В случае теплового шума вывод основывается на положениях статистической механики и закона равномерного распределения энергии, согласно которому любая система при абсолютной температуре 0, находящаяся в тепловом равновесии с окружающей средой, обладает тепловой энергией в среднем до на каждую степень свободы, где постоянная Больцмана. В результате спектральная плотность шумового напряжения на концах сопротивления в разомкнутом контуре имеет вид

Таким образом, активное сопротивление может быть представлено так, как показано на рис. 1.3, а, где последовательный шумовой генератор напряжения имеет спектральную плотность, описываемую выражением (1.4а). После простого преобразования контура шумовое сопротивление можно представить в виде, изображенном на рис. 1.3, б, где параллельный шумовой генератор тока имеет спектральную плотность

В этом! выражении проводимость

Рис. 1.3. Тепловой шум в резисторе R, представленный последовательным шумовым генератором напряжения (а) и параллельным шумовым генератором тока (б).

Выражения (1.4) были впервые выведены Найквистом [4] из соображений термодинамики и обмена энергией между активными элементами в равновесии. Макроскопический подход Найквиста к проблеме теплового шума, который существенно отличается от исследования на микроскопическом уровне, проведенного выше, описан в приложении 2.

В теореме Найквиста, выраженной соотношениями (1.4а) и (1.46), содержится сопротивление R. Однако максимально возможная мощность на сопротивлении в интервале частот не зависит от R. Это можно видеть из рис. 1.4, который показывает, что к сопротивлению R, параллельному шумовому генератору тока, подключена бесшумовая согласованная нагрузка. Простой анализ контура показывает, что рассеянная в нагрузке мощность в диапазоне частот имеет вид

где вместо подставили выражение из правой части формулы (1.46). Значение постоянной Больцмана которая при умножении на величину , соответствующую комнатной температуре, в интервале частот шириной 1 Гц дает максимально возможную мощность шума, равную

Спектральная плотность дробового шума при среднем токе I составляет

где абсолютное значение заряда электрона. Этот результат почти непосредственно следует из выражения (1.3), если предположить, что среднее число импульсов в единицу времени равно а все амплитуды импульсов равны что дает

Рис. 1.4. Шумовое сопротивление R, соединенное с бесшумовой согласованной нагрузкой

Изучение теплового и дробового шума на микроскопическом уровне, основанное на концепции последовательности случайных импульсов, в дальнейшем несколько подробнее обсуждается в гл. 2.

Один вид шума, который встречается в самых разнообразных системах (электронных, биологических, музыкальных и т. д.), и особенно в устройствах на твердом теле, приобрел широкую известность.

Это является следствием его повсеместного распространения и одновременно сложности для теоретического изучения. Мы имеем в виду -шум, или, как его иногда называют (исторически), токовый шум, фликкер-шум, шум контактов или избыточный шум.

Название связано с тем, что спектральная плотность энергии этого шума изменяется в зависимости от частоты как где значение а обычно колеблется в пределах Эту зависимость наблюдают при понижении частоты до значений порядка Гц. Верхний ее предел установить трудно, так как он, как правило, маскируется тепловым или каким-либо другим шумом. Существуют различные теоретические трудности при исследовании -шума, главным образом касающиеся сходимости интегралов. В настоящее время не существует ни одного вполне удовлетворительного объяснения этого явления, хотя в некоторых случаях (например, при захвате электронов оксидным слоем на полупроводнике, как это происходит в МОП-полевых транзисторах) модели были получены. Похоже, однако, что такие модели имеют лишь ограниченное применение и не объясняют адекватно многие формы сигналов -шума.

Интересно отметить, что -шум можно представить как последовательность случайных импульсов, или, более точно, последовательность случайных импульсов с определенным видом функции формы импульса, для которой спектральная плотность изменяется как в широком частотном диапазоне. Чтобы это выполнялось, форма импульса должна иметь вид

как было предложено Шенфельдом [6] и рассматривалось сравнительно недавно ван-дер-Зилом [8]. В выражении -единичная ступенчатая функция, равная единице для и нулю, когда Преобразование Фурье для

существует и имеет вид

где минус соответствует частотам а плюс — частотам Подставляя эту формулу в выражение для теоремы Карсона (1.2), можно найти спектральную плотность данного шумового сигнала

что и требовалось получить. Здесь имеется некоторое затруднение, - так как не является абсолютно интегрируемой, но оно преодолимо, если ввести небольшие изменения в незначительно влияющие на конечный результат.

Из этого рассмотрения могло показаться, что теоретическая модель -шума, основанная на последовательности случайных импульсов, выглядит обнадеживающе. Трудность на этом пути в том, чтобы найти физический механизм, который порождает импульсы, имеющие форму, задаваемую выражением (1.6). В настоящее время такой механизм неизвестен. Свойства, проблемы и существующие теоретические модели для -шума детально обсуждаются в гл. 6.

В дополнение к тепловому, дробовому и -шуму, введенным выше, в следующих главах встретимся с различными другими типами шумов, включая генерационно-рекомбинационный шум, возникающий в результате случайного захвата носителей в полупроводниковых материалах, взрывной шум, лавинный шум вследствие ударной ионизации и неравновесный джонсоновский шум горячих электронов в сильных электрических полях. Некоторые из перечисленных явлений относятся к шумовым процессам, о которых мы уже говорили, например лавинный шум можно рассматривать как усиленную разновидность дробового шума, а джонсоновский шум горячих электронов, очевидно, является вариантом теплового шума, производимого равновесным ансамблем электронов. Прежде чем рассматривать новые типы шумов и устройств, с которыми они связаны, продолжим подготовку математического фундамента, необходимого для удовлетворительного теоретического обоснования свойств шумов и стохастических процессов.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)