11.3. Квантовый предел для шума усилителя

Электромагнитное излучение проявляет дуализм в своем поведении, оказываясь по характеру то корпускулярным (как в фотоэлектрическом эффекте), то волноподобным (как в явлениях интерференции). Смысловой аспект этого «раздвоения», наблюдаемого на практике, целиком зависит от проводимого эксперимента. Вообще говоря, было бы значительно проще описывать все эксперименты, связанные с электромагнитным излучением исключительно либо с корпускулярной, либо с волновой точки зрения, однако это невозможно. Необходимость использования дуального представления является общепризнанной.

Корпускулярное описание поля было предложено Эйнштейном [2], который ввел кванты энергии (или фотоны) электромагнитного поля. Согласно Эйнштейну, общая энергия Е поля

излучения на частоте определяется выражением

где полное число фотонов в поле, каждый из которых обладает энергией Принимая во внимание уравнение (11.10) и корпускулярное описание, предположим теперь, что поле рассматривается как волна, для которой можно ввести фазу

Таким образом, мы имеем два уравнения, каждое из которых отражает различные аспекты характера поля. Одно из этих уравнений содержит энергию Е, другое — время Как мы уже видели, эти две величины являются сопряженной парой, удовлетворяющей принципу неопределенности, выраженному уравнением (11.3). Записывая выражения

получаем

Этот результат отражает дуальный характер поля излучения, показывая, что измерения, основанные на корпускулярном и волновом представлениях поля, не являются независимыми: информация об одном из них получается за счет информации о другом.

Принцип неопределенности в виде выражения (11.13) можно использовать для установления квантового предела шумов линейного усилителя [7]. Удобно провести доказательство применительно к мазеру, название которого рассматривается здесь как обобщенный термин, употребляемый для обозначения устройств, усиливающих излучение при прохождении его через возбужденную молекулярную среду за счет индуцированного излучения, в том числе лазеров, иразеров и т. д. Для настоящего рассмотрения достаточно оставить пока в стороне микроскопическую картину работы мазера, речь о которой пойдет в следующей главе, и сконцентрировать внимание на простой модели, изображенной на рис. 11.2. Падающее излучение, имеющее спектральную плотность проходит через поглощающий материал толщиной (изображающий мазер) и выходит со спектральной плотностью

где а — коэффициент поглощения на частоте излучения. Если мазер функционирует как усилитель, величина а будет

отрицательной и интенсивность на выходе превосходит интенсивность на входе, т. е. система обеспечивает усиление. Тогда количества фотонов появляющихся соответственно на входе и выходе системы в течение данного времени, связаны соотношением

где коэффициент усиления по мощности.

Рис. 11.2. Прохождение электромагнитного излучения через поглощающую среду толщиной

Рис. 11.3. Усилитель с коэффициентом усиления и «идеальный» детектор.

Поскольку усиление является когерентным процессом, фазы на входе и выходе равны или отличаются на постоянный фазовый сдвиг

Предположим теперь, что после усилителя включен детектор (рис. 11.3), который является «идеальным» в том смысле, что он наилучший из возможных в пределах ограничений, налагаемых принципом неопределенности. Таким образом, детектор обеспечивает измерение числа фотонов и фазы поля излучения на выходе усилителя с ошибкой, определяемой соотношением неопределенности

Следовательно, если бы усилитель не имел собственных шумов, ошибки измерения числа фотонов и фазы на входе удовлетворяли бы условию

Это невозможно, поскольку противоречит принципу неопределенности, а следовательно, гипотеза о том, что усилитель не имеет собственных шумов, несправедлива. Усилитель должен

вводить некоторую неопределенность в измерение, или, другими словами, он всегда будет иметь шумы.

Хотя такое рассуждение устанавливает существование минимального уровня шума в усилителе, оно не позволяет оценить этот уровень. Однако такую оценку можно получить, используя дополнительное условие согласования усилителя с детектором. Тогда уровень квантовых флуктуаций поля излучения [5] получается как условие минимального шума. Из расчетов, приведенных в приложении 7, следует, что минимальная мощность шума на выходе усилителя, определенная в полосе частот около сигнальной частоты описывается формулой

Относя ее ко входу, т. е. разделив на коэффициент усиления получаем, что в пределе большого минимальная обнаруживаемая мощность сигнала составляет

Этот вывод представляет интерес в связи с тем, что мощность шума, генерируемая сопротивлением (как показано в следующем разделе), в пределе низких температур равна так как она связана с энергией нулевых колебаний. Энергия нулевых колебаний не наблюдается, поскольку она в 2 раза ниже минимально регистрируемого уровня. Напротив, в «классическом» пределе мощность генерируемых шумов наблюдается всегда, по крайней мере в принципе. Тем не менее, когда существенны квантовые эффекты, усилитель сам является объектом квантовомеханического рассмотрения и устанавливает нижний предел регистрируемой мощности на входе.

Рассуждение, приведенное выше, является довольно общим в том смысле, что оно применимо к любому линейному усилителю, который описывается уравнениями (11.15) и (11.16). Примером такого «совершенного» устройства является мазер; теоретически минимальная обнаруживаемая мощность на входе мазера точно описывается выражением 11.19, которое, как мы видим, дает наилучший достижимый результат. Принцип действия мазера и механизмы шумов, возникающих в нем, будут обсуждаться в разд. 11.5 и 11.6.