6.3. Стационарность

Дискуссия о том, является ли -шум статистически стационарным процессом, продолжается в литературе уже несколько лет. Утверждения о том, что -шум представляет собой «стационарную» флуктуацию, столь же распространены как утверждения о том, что он обладает некоторой степенью «не-стационарности». При этом, как правило, точное определение этих терминов остается не установленным, что приводит к тому, что весь вопрос отчасти запутан. Данная проблема возникает, конечно, в связи с расходимостью спектра в нижнечастотном пределе.

Для того чтобы внести ясность в данную ситуацию, ниже будет проведено рассмотрение двух частных случаев шумового спектра, а именно -шум в ограниченной полосе частот (т. е. такой, у которого отсутствует низкочастотная составляющая) и -шум без низкочастотной фильтрации (т. е. такой, у которого имеются все низкочастотные составляющие). Первый случай, т. е. шум в ограниченной полосе частот, соответствует тем видам спектральной функции, которые исследуются при

экспериментальных измерениях (так как -шум, реально наблюдаемый при измерениях, всегда является ограниченным по полосе частот, либо непосредственно за счет фильтрации, обусловленной конечной полосой пропускания аппаратуры, либо косвенно за счет ограниченного времени измерения), и такой шум является статистически стационарным процессом. Напротив, -шум без низкочастотной фильтрации является теоретической абстракцией и он нестационарен.

6.3.1. 1/f-шум в ограниченной полосе частот

Рассмотрим -шумовой процесс с такой полосовой фильтрацией, что для него спектральная плотность мощности имеет вид

где соответственно верхняя и нижняя угловые частоты этой полосы. Используя теорему Винера — Хинчина и имея в виду уравнение (6.3), получаем, что автокорреляционная функция описывается формулой

которую после замены переменной и преобразования пределов интегрирования можно записать в виде

где

— интегральный косинус. Разложение интегрального косинуса в ряд (см., например, [44]) дает

где постоянная Эйлера; таким образом, при функция ведет себя как Следовательно, средний квадрат который можно получить из уравнения

(6.5) в пределе описывается выражением

в согласии с уравнением (6.2).

Из уравнений (6.5) и (6.8) видно, что для определенной полосы частот с автокорреляционная функция и значение среднего квадрата процесса, спектральная плотность которого задается уравнением (6.3), сходятся в пределе к выражениям одного вида. Это означает, что статистические меры (т. е. плотности вероятности), составляющие основу этих величин второго порядка, зависят только от времени запаздывания но не от абсолютных отрезков времени, по которым происходит усреднение ансамблей, что является условием стационарности в широком смысле. Таким образом, -шум в ограниченной полосе частот является по крайней мере стационарным процессом в широком смысле.

Вопрос о стационарности -шума впервые был поднят Ърофи [12, 13], который выполнил измерения «дисперсии дисперсии», как это после него начали называть. Он брал выборки -шума за большое число отрезков времени и вычислял дисперсию для каждой такой выборки. Однако эти дисперсии сами флуктуировали, потому что каждая была измерена в интервале времени конечной длительности. Степень этой флуктуации и определялась как дисперсия дисперсии. Брофи нашел, что дисперсия дисперсии была больше для -шума в ограниченной полосе частот, чем для стационарного белого теплового шума, что объясняет его ссылку на -шум как на «шумный шум»; он пришел к выводу, что -шум «обладает некоторой (формой условной стационарности».

По крайней мере качественно результаты Брофи согласуются с полученными выше выводами о том, что -шум в ограниченной полосе частот стационарен в широком смысле. Более того, поскольку время корреляции -шума намного больше, чем у белого шума, то относительно большое значение дисперсии дисперсии, обнаруженное у -шума, не должно было быть неожиданным, и этот факт не следовало бы истолковывать как доказательство того, что -шум в ограниченной полосе частот является нестационарным.

Дальнейшие эксперименты по изучению вопроса о стационарности -шума в ограниченной полосе частот были выполнены Стойсеком и Вольфом [58]; они проводили измерения флуктуаций дисперсии шума от физических источников двух типов (угольных резисторов и биполярных транзисторов) и сравнивали результаты с «искусственным» -шумом, который создавался формированием стационарного гауссова шума с

-спектром. Они пришли к заключению, что нет оснований для сомнений в том, что -шум в ограниченной полосе частот является статистически стационарным. Страсилла и Страсс [59] пришли к подобному же заключению.