2.2. Сингулярные функции

Дельта-функция Дирака, обозначаемая символом определяется соотношением

где обычная функция времени, непрерывная при

Согласно этому определению, -функционал, имеющий свойство присваивать значение функции В противном случае, если бы была обычной функцией, интеграл в выражении (2.1) не имел бы смысла. С дельта-функцией, хотя она и является функционалом, можно обращаться так же, как с «обычной математической функцией, при условии, что производимые действия не противоречат данному выше определению.

При подстановке для всех из выражения (2.1) следует, что

Этот результат в сочетании с определяющим соотношением показывает, что дельта-функцию можно представить как импульс единичной площади с центром в точке имеющий бесконечно большую высоту и бесконечно малую ширину.

Рис. 2.1. Схематическое изображение дельта-функции Дирака.

Это схематически иллюстрируется на рис. 2.1. Такое представление, конечно, является математической абстракцией. Оно также служит основным элементом импульсного процесса, состоящего из случайной последовательности дельта-функций, а такой сигнал — чрезвычайно близкое приближение для многих реальных шумовых процессов.

Из выражения (2.2) непосредственно выводится полезное соотношение:

где а — константа. Из соотношения (2.3) следует

Следующую формулу получают из выражения (2.1) для случая, когда дельта-функцию перемещают из нуля в момент

Тогда имеем

что является основным свойством дельта-функции.

Дельта-функцию можно представить как предельный вид обычной четной функции времени с выбросом при который становится выше и тоньше при уменьшении некоторого параметра, скажем но площадь выброса при этом остается постоянной и равной единице.

Рис. 2.2. Функция .

Наконец, в пределе при больших эта функция при становится бесконечной, а для всех О принимает нулевое значение. Если такая функция и

где непрерывна при то, сравнивая это выражение с выражением (2.1), имеем

Это следует понимать в том смысле, что число (0), присвоенное функции дельта-функцией, равно пределу интеграла в формуле (2.6).

Примером функции, удовлетворяющей условию (2.6), является функция

Отсюда, согласно формуле (2.7), имеем

На рис. 2.2 показано приближение функции (2.8) к предельному виду при увеличении Выражение (2.9) является важным результатом для установления соотношения между прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Приведенное выше рассмотрение в общих чертах намечает некоторые свойства дельта-функции Дирака. Подробное описание сингулярных функций дал в своей монографии об обобщенных функциях Лайтхилл [13].