2.6. Последовательности случайных импульсов

Случайный шум часто происходит от большого числа независимых дискретных «событий». Каждое событие производит импульс данной формы, и случайная суперпозиция всех таких импульсов составляет форму шумового сигнала. Такой сигнал называют последовательностью случайных импульсов. Как последовательности случайных импульсов можно рассматривать дробовой шум и тепловой шум, а также много других процессов в электронных и других устройствах. Подобным образом, например, можно представить генерационно-рекомбинационный шум, выпадение осадков и вызванный ветром акустический гшум в океане.

Если функция, описывающая форму импульса, то форма шумового сигнала является суперпозицией:

где амплитуда импульса; момент времени, в который происходит событие; К — число импульсов в последовательности протяженностью Г и по условию причинности для Статистические характеристики процесса (2.36) получают при условии, что ряд сходится и что функция

формы определена для времени, много меньшего времени наблюдения Т.

Так как события независимы, величины распределены по закону Пуассона с функцией плотности вероятности, равной (Распределение Пуассона обсуждается в приложении 1.) Таким образом, математическое ожидание процесса есть функция

где среднее число событий в секунду и а — среднее значение амплитуды Выражение (2.37) иногда называют теоремой Кемпбелла о среднем. Из этой теоремы ясно, что если амплитуды симметрично распределены относительно нуля, то среднее значение процесса равно нулю. Фурье-преобразование для имеет вид

Теперь, согласно определению (2.31), спектральная плотность является функцией

где номинальный индекс суммирования позволяет включить в двойную сумму смешанные члены. Сумму в выражении (2.39) можно представить в виде суммы членов с плюс двойная сумма членов с что дает возможность записать спектральную плотность в виде

где штрих означает суммирование при Так как независимы для всех (т. е. попарно независимы), а не зависит от то произведение можно вынести за сумму со штрихом и положить равным Таким образом, для

симметричного распределения относительно нуля слагаемое со штрихом равно нулю и спектральная плотность имеет вид

где значение среднего квадрата для а Выражение (2.41) представляет собой запись теоремы Карсона [18].

Для более общего случая несимметричного распределения относительно нуля в выражении для спектральной плотности появляется добавочный член, соответствующий уровню постоянного тока. Этот дополнительный член выводится из отмеченной штрихом суммы в выражении (2.40). В итоге имеем результат в общем виде:

Член, содержащий дельта-функцию, получают, вычисляя с использованием при этом функции плотности вероятности Пуассона затем устанавливая тождественность между (0) и и, наконец, заменяя на

Теперь можно применить теорему Винера — Хинчина к в выражении (2.42), чтобы получить автокорреляционную функцию последовательности случайных импульсов. Применяя интеграл обращения в выражении (2.336), имеем

По теореме Парсеваля [соотношение (2.26)] интегралы в этом выражении можно заменить на интегралы по времени, что приводит к альтернативному представлению

Когда автокорреляционная функция равна значению среднего квадрата и, следовательно, из выражения в общем

виде (2.44) получаем

что является записью теоремы Кемпбелла о среднем квадрате. Теоремы, названные его именем, подробно рассматривались в литературе в работах самого Кемпбелла [5], а также некоторых других авторов, в том числе Роланда [19] и Кемпбелла и Фрэнсиса [6].

Рис. 2.3. Односторонняя спектральная плотность мощности (а) и автокорреляционная функция импульсного процесса (б).

Райс [18] обобщил теорему о среднем квадрате, включив средние порядка.

Когда функция формы является дельта-функцией, преобразование равно единице и последовательность случайных импульсов называют импульсным процессом. Из формулы (2.42) получаем спектральную плотность такого процесса

и выражение (2.43) дает автокорреляционную функцию в виде

где интеграл заменили дельта-функцией согласно соотношению Фурье (2.18а). Выражения (2.46) и (2.47) иллюстрируются на рис. 2.3. Заметим появление дельта-функции в источнике в обоих случаях: спектральной плотности и автокорреляционной функции. В последнем случае имеется некоторое осложнение, а именно значение среднего квадрата импульсного процесса

не определено в соответствии с равномерным распределением спектральной плотности по бесконечно широкому частотному диапазону. Конечно, функции формы сигналов, встречающихся в физической реальности, никогда не бывают чисто импульсными. Какими бы узкими они ни были, они всегда имеют конечную ширину. Вследствие этого спектральная плотность последовательности импульсов резко уменьшается на частотах выше частоты, обратной ширине импульса, и дельта-функция в источнике в автокорреляционной функции исчезает; таким образом» значение среднего квадрата становится конечным, и противоречие устраняется.