8.5. Выходной спектр

Возможно, кратчайший способ вывести выражение для спектральной плотности выходного напряжения (8.13) — это сначала построить автокорреляционную функцию которую затем можно использовать вместе с теоремой Винера — Хинчина для получения

По определению автокорреляционная функция описывается выражением

где Т — время наблюдения, задержка, а черта означает усреднение по ансамблю. Подынтегральная функция имеет вид

где заменяем выражением (8.13) и для краткости полагаем Далее, произведение тригонометрических членов в выражении (8.15) можно записать в виде

где и После подстановки этого выражения в выражение (8.15) и интегрирования в соответствии с выражением (8.14) второй член в квадратных скобках даст нулевой результат. Это происходит из-за присутствия в этих скобках детерминированных членов, содержащих которые зависят от времени после усреднения по ансамблю, а процессы — стационарны. Остальную часть подынтегрального выражения, не зависящую от после усреднения по ансамблю, можно вынести за знак интеграла, что дает

В выражении (8.17) можно провести упрощение, считая, что разность фаз много меньше единицы. Тогда, разлагая в ряд до второго порядка тригонометрические члены, содержащие разность фаз, находим, что

где — автокорреляционные функции флуктуаций амплитуды и фазы соответственно, а

определяет взаимную корреляцию между и Заметим, что это приближение получено в предположении, что средние значения амплитудной флуктуации и разности фаз равны нулю.

Теперь можно получить спектральную плотность из выражения (8.18) с помощью интеграла обратного преобразования Винера — Хинчина

где пределы интегрирования выбраны для удобства

обращения с взаимно корреляционными функциями Производя подстановку для находим спектральную плотность

Новые функции в этом выражении определяются следующим образом: и -спектральные плотности мощности соответственно, где взаимная спектральная плотность между означает мнимую часть. Структура правой части выражения (8.21) такова, что достаточно рассматривать только положительные значения со, но в этом случае следует ввести множитель 2, чтобы учесть отрицательную область частот. Если затем положить и принять во внимание, что низкочастотные функции, спектральные плотности которых существенны лишь при станет очевидно, что члены в формуле (8.21) пренебрежимо малы при частотах, близких к (т. е. в интересующей нас области). Отсюда следует, что спектральную плотность выходного напряжения генератора можно представить выражением

для частот вблизи частоты собственных колебаний.

Член, содержащий дельта-функцию в выражении (8.22), описывает влияние шума на собственные колебания: ослабление влияния дельта-функции происходит из-за флуктуаций фазы. Из остальных членов, представляющих шумовые бокрвые полосы по обе стороны от несущей частоты, первый член — АМ-шум, второй — ЧМ-шум, а третий описывает AM-ЧМ-когерентность на боковых полосах.

В отсутствие какой-либо когерентности шум симметричен относительно частоты собственных колебаний, так как четные функции . С другой стороны, - нечетная функция и,

следовательно, если флуктуации амплитуды и фазы не независимы, шумовые боковые полосы имеют некоторую асимметричность. Как показано в приложении 5, когда -генератор белого шума, флуктуации амплитуды и фазы независимы и шумовые боковые полосы симметричны относительно