6.4. Форма сигнала с 1/f-спектром

Уже было отмечено, что в общем случае физические причины возникновения -шума все еще не ясны. Ключ к пониманию физического механизма, обусловливающего данное явление, может содержаться в характерных особенностях формы данного сигнала, т. е. предполагается, что анализ математического описания процесса, обладающего характеристиками -шума, может пролить свет на понимание физики, лежащей в основе этого вида флуктуаций.

Ниже обсуждаются два процесса, имеющие форму спектра Первый процесс — это случайный импульсов, модели которого уделено удивительно мало внимания в литературе. Шёнфельд [57] высказал мысль о том, что -шум можно представить как случайную последовательность импульсов, которые имеют примерно одинаковую форму, а ван-дер-Зил [64] дополнил эту модель, исходя из простейшей из возможных:

форм таких импульсов. Но в общем очевидно, что к этому процессу проявлен слабый интерес, исключение составляет работа Белла [9], который рассмотрел модель подобного типа.

Другое математическое представление сигнала рассматриваемое ниже, основано на суперпозиции большого числа релаксационных процессов с широкой вариацией характерных постоянных времени [50, 61]. Эта модель получила широкое признание, что, по всей вероятности, связано с ее непосредственным отношением к поверхностному механизму -шума в МОП ПТ, согласно которому носители туннелируют между полупроводником и ловушками, локализованными в слое окисла. Обобщение модели суперпозиции описано в работе [24].

6.4.1. Модель 1/f-шума, основанная на процессе случайного цуга импульсов

Используя теорему Карсона (разд. 2.6), можно получить выражение для спектральной плотности случайного цуга импульсов при форме единичного импульса, заданного функцией

преобразование Фурье функции средний квадрат высоты импульса, средняя частота следования импульсов. Анализ уравнения (6.14) показывает, что частотная зависимость полностью определяется формой отдельного импульса Следовательно, вопрос состоит в выборе такой формы отдельного импульса в цуге, которая приведет к нужной спектральной функции, а именно (Подобный вопрос уже встречался при рассмотрении теплового и дробового шума, где в тех же случаях для формы импульса использовали дельта-функцию, ее преобразование равно единице и спектры не зависят от частоты.)

Будем считать, что форма отдельного импульса в цуге описывается функцией

где а и оба положительны и не зависят от времени; а — (приближенно, но не точно равно единице, -единичная ступенчатая функция. Фурье-преобразование функции описывается формулой

где - гамма-функция. Интеграл в выражении (6.16) имеет стандартную форму и его значение можно найти в любой таблице, например в работе [23]. Если результат, полученный из уравнения (6.16), подставить в выражение теоремы Карсона, то найдем, что спектральная плотность процесса, моделируемого случайным цугом импульсов с формой отдельного импульса, заданного выражением (6.15), имеет вид

Кривая, характеризующая зависимость (6.17) представлена на рис. 6.1,а.

Рис. 6.1. а — спектральная плотность рассчитанная из уравнения (6.17) и нормализованная к нулевому значению частоты при ; б - соответствующая автокорреляционная функция, рассчитанная из уравнения (6.19) при

Из этого рисунка видно, что имеется граничная частота ниже которой кривая по существу параллельна оси абсцисс, а в диапазоне, где можно провести аппроксимацию следующим образом:

где Такая спектральная зависимость соответствует реально наблюдаемым спектрам -шума даже вплоть до возможности некоторого изменения логарифмического наклона за счет показателя та. Более того, закон обратной степенной зависимости можно использовать в любом сколь угодно широком диапазоне частот, так как величину граничной (угловой) частоты , входящей в выражение (6.17), можно выбрать сколь угодно малой. К тому же ясно, что сколь бы малым ни было

значение со (при условии, однако, что оно не обращается в нуль), функция в уравнении (6.17) удовлетворяет условию стационарности (в широком смысле), неявно содержащемуся в уравнении (6.10).

Если считать, что со находится значительно ниже наблюдаемого диапазона частот, то автокорреляционная функция и значение среднего квадрата будут зависеть от времени измерения Т, как это обсуждалось в разд. 6.3.3.. С теоретической точки зрения представляет интерес проанализировать изменение этих статистических характеристик в пределе при В этом случае для получения автокорреляционной функции в интеграл Винера — Хинчина целесообразно подставить спектральную плотность в виде, описываемом уравнением (6.17), а не уравнением (6.18):

где с целью упрощения используется коэффициент а, равный единице, а — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка. График зависимости функции от приводится на рис. 6.1, б. Возможно смысл автокорреляционной функции легче понять, если аппроксимировать данную функцию Бесселя суммой первых трех членов ее разложения в ряд

где постоянная Эйлера. Для случая малых которые нас и интересуют, очевидно, функция изменяется как причем для она конечна во всех точках по за исключением начала координат, где она имеет логарифмическую неопределенность, связанную с высокочастотной границей спектра -шума. Но это не большая помеха, чем дельта-функция, входящая в автокорреляционную функцию для белого шума, спектр которого распространен равномерно до бесконечности: в обоих случаях бесконечность среднего квадрата есть не что иное, как математическая абстракция, так как в реальной ситуации ограничения полосы пропускания приводят к конечным значениям этих величин. В случае же когда легко видеть из уравнений (6.19) и (6.20), что автокорреляционная функция является неопределенной при любом значении Несомненно, что такое странное с теоретической точки зрения свойство связано с применимостью формулы вплоть до крайне малых значений частоты; и хотя для -шума следует ожидать крайне больших значений времени

корреляции, это свойство означает лишь экстремальное (по нижней частоте) условие, которое по причинам, подробно смотренным выше, никогда нельзя наблюдать на опыте.

Ясно, что процесс, описываемый случайным цугом импульсов в том случае, когда индивидуальный импульс примерно описывается формулой приводит к тем же статистическим параметрам второго порядка, которые получают при экспериментальных измерениях -шума. Конечно, физические механизмы, обусловливающие импульсы именно такой формы в электронной аппаратуре или во многих неэлектронных системах, с первого взгляда не очевидны. В качестве механизма, приводящего к модуляции электрического сопротивления образца, которая в свою очередь приводит к возникновению -шума в определенном диапазоне частот, была предложена термодиффузия; такой механизм можно интерпретировать как процесс случайного цуга импульсов, рассмотренный выше. Хотя термофлуктуации больше не считают единственным механизмом, обусловливающим весь наблюдаемый -шум (по крайней мере в большинстве случаев), эта модель казалась многообещающей в середине 1970-х гг. при ее возникновении. Одна привлекательная особенность этого подхода состоит в том, что равновесный обмен тепловой энергией между телом и его окружением есть явление универсальное и в этом смысле очень схожее с самим -шумом. Однако другие факторы противоречили гипотезе о температурных флуктуациях, а экспериментальные данные, полученные к настоящему времени, таковы, что данная модель, если не целиком отвергается, то и не оправдывает связанных с ней надежд. Ввиду того внимания, которое привлек к себе этот механизм, когда он был предложен, и возможности его повторного рассмотрения в будущем в модифицированном виде, мы опишем его преимущества и недостатки ниже в разд. 6.7.3.