1.2.3. Внутренние симметрии

Системы, встречающиеся в физике элементарных частиц, обладают внутренними симметриями, играющими важную роль при анализе их спектров и взаимодействий. Насколько нам известно,

большинство этих симметрий являются лишь приближенными, причем нарушаются они силами более слабыми, чем те, которые мы рассматриваем. Тем не менее при первом рассмотрении полезно считать симметрии точными, а отклонения от них рассматривать как второе приближение Приведем краткий вывод теоремы Нётер в такой классической ситуации.

Пусть обозначают N взаимодействующих полей. Некоторые из них могут быть действительными, другие — комплексными и иметь лоренцовы индексы Для каждого значения х будем рассматривать этот набор полей как вектор в -мерном пространстве, где задано представление группы G. Последняя может оставлять инвариантными некоторые подпространства (так с необходимостью будет в случае, если поля имеют неэквивалентные трансформационные свойства по отношению к группе Лоренца). Если -компактная группа Ли, будем обозначать соответствующие антиэрмитовы генераторы они удовлетворяют следующим соотношениям коммутации:

    (1.136)

Напомним, что в случае компактной группы структурные константы можно выбрать полностью антисимметричными. Для краткости мы не отличаем группу от ее линейной реализации на величинах

Рассмотрим вариации полей, обладающие пространственно-временной зависимостью:

    (1.137)

Мы имеем где — функция от (и их комплексно-сопряженных величин), Вариация около стационарного решения дает

    (1.138)

Определим соответствующие токи

В ток будет давать вклад только часть лагранжиана, содержащая производные полей. Теорема Нётер следует из (1.138) и дает дивергенцию от этих токов в виде

Здесь воспользовались тем, что совпадает с производной по величинам не зависящим от координат. Ток

будет сохраняться, если соответствующий член в правой части выражения (1 140) равен нулю Это означает, что исходный лагранжиан инвариантен относительно одномерной подгруппы G, порождаемой генератором Иными словами, с каждой такой подгруппой связан сохраняющийся заряд:

    (1.141)

Вернемся к общему случаю, т. е. не будем предполагать, что токи сохраняются. Это не мешает нам определить заряды в момент времени t. В дальнейшем будем считать t фиксированным и не будем писать его в явном виде. Пусть — функционал от полей и сопряженных импульсов в момент времени вычислим скобку Пуассона

Зависимость от обусловлена только зависимостью от Для простоты предположим, что поля вещественны (тогда веществен и антисимметричен). В противном случаемы должны были бы рассмотреть по отдельности вещественную и мнимую части. Таким образом, мы можем записать

    (1.143)

Следовательно,

В частности, мы получаем выражения

которые можно переписать в виде

где вариации полей, определяемые выражением (1.137), при инфинитезимальных преобразованиях. Иными словами, заряды порождают эти инфинитезимальные преобразования с помощью скобок Пуассона точно так же, как гамильтониан порождает временные трансляции. Аналогично получаем очевидное равенство

    (1.146)

Для вывода приведенных выше соотношений инвариантность лагранжиана не требуется. Действительно, если Я—гамильтониан, то нетрудно получить

    (1.147)

Мы можем обобщить соотношение (1 146) на случай скобок Пуас» сона от временных компонент токов при равных временах:

    (1.148)

В квантовом случае эти соотношения лежат в основе важного формализма алгебры токов (см. гл. 11).

Полезно изучить одновременные скобки Пуассона для тензора энергии-импульса:

Отсюда мы снова получаем алгебру Ли группы Пуанкаре:

В заключение этого раздела рассмотрим простой лагранжиан, зависящий от двух вещественных полей которые выразим через комплексные (независимые) величины:

    (1.151)

Предположим, что динамика инвариантна относительно внутренних вращений в пространстве (1, 2) или, что эквивалентно, при преобразованиях

    (1.152)

Постоянная , входящая в эти соотношения, будет отождествлена с элементарной константой связи с электромагнитным полем, т. е. отождествлена с электрическим зарядом. Например, предположим, что X имеет вид

    (1.153)

где V — произвольная гладкая функция, например полином. Из теоремы тер следует выражение для сохраняющегося тока

    (1.154)

Разумеется, сохранение тока можно непосредственно проверить с помощью уравнений движения

Следовательно, заряд

    (1.156)

не зависит от времени. Свяжем теперь эту систему с электромагнитным полем. Поскольку сохраняющийся ток нам задан, можно использовать его в правой части уравнений Максвелла Однако при этом надо быть осторожным, так как связь с вектор-потенциалом А может изменить структуру самого тока. Поэтому мы ищем полный лагранжиан в виде суммы трех частей: определяемой выражением (1.153), и части, отвечающей взаимодействию, . Таким образом,

Предположим, что ток , определяемый теоремой Нётер, примененной к полному лагранжиану (1.157), действительно является электромагнитным током. Иными словами, мы имеем

Нетрудно убедиться, что лагранжиан взаимодействия

удовлетворяет этим условиям, причем

    (1.160)

Следовательно, полный лагранжиан можно записать в виде

Он приводит к связанным уравнениям

Мы видим, что выражение (1.161) следует из принципа минимальной связи с электромагнитным полем, согласно которому производная действующая на заряженное поле (с зарядом ), заменяется на ковариантную производную Таким образом, лагранжипн не только инвариантен при преобразованиях (1.152) с постоянной величиной а, но и при более общих, зависящих от х (т. е. локальных), калибровочных преобразованиях:

    (1.163)

То, что первоначально было приемом, используемым при выводе теоремы Нптер, оказалось более глубоким свойством электромагнитных взаимодействий, которое обобщает свойство калибровочной инвариантности, рассмотренное выше для свободного электромагнитного поля. Распространяя это понятие соответствующим образом на некоммутативные группы, мы приходим к очень интересным моделям теории поля (см. гл. 12).