4.1.4. S-матрица и оператор эволюции

Выражение (4.13) для -матрицы мы получили исходя из предположения, что источник не является независимой динамической переменной, т. е. что его эволюция во времени описывается некоторой заданной функцией. При таком подходе оставалась произвольной зависящая от источника фаза в S. Поэтому теперь следует развить общий математический формализм и сравнить его результаты с данным частным случаем. Задача состоит в том, чтобы построить оператор, который осуществляет зависящее от времени каноническое преобразование, связывающее взаимодействующее поле со свободным полем

Мы уже отметили, записав результат в виде формулы (4.8), что представляет собой слабый предел величины при и, следовательно, в этом пределе

При каноническом квантовании мы имеем дело с оператором А (t), который удовлетворяет уравнению

и оператором , удовлетворяющим аналогичному уравнению. Здесь обозначает гамильтониан. Поле

удовлетворяет уравнению

где зависящий от времени свободный гамильтониан с выражением (3.120)], записанный через -операторы рождения и уничтожения. Выведем уравнение эволюции во времени для оператора U (t). Из требования унитарности получаем

Кроме того, из уравнения (4.49) следует, что

Таким образом,

аналогичное уравнение можно записать для Отсюда вытекает, что оператор

коммутирует с каждым -оператором и, следовательно, является с-числом. В нормированные матричные элементы оператора U это число не дает вклада (что мы покажем ниже), и мы в дальнейшем не будем его учитывать. Таким образом, уравнение эволюции для U запишется в виде

В нашем случае и гамильтониан взаимодействия обращается в нуль при Таким образом, эволюция во времени, определяемая оператором , отвечает представлению взаимодействия. Заметим, что зависимость от времени определяется зависимостью от времени как тока так и операторов Уравнение (4.52) можно

решить итерацией соответствующего интегрального уравнения

с учетом граничного условия (4.50). В результате находим

В этих выражениях существенную роль играет упорядочение операторов, а именно последовательная расстановка их в зависимости от величины временных аргументов. Дадим обобщенное определение хронологического произведения операторов (сокращенно Г-проиведения):

где сумма пробегает все перестановки -функция обеспечивает выполнение условия

а обозначает четность перестановки ферми-операторов, входящих в это произведение. (Последнее правило здесь пока не понадобится, но вскоре нам придется его учитывать.) Здесь Г-произ-ведение симметрично, и мы можем записать

Последнее выражение для оператора эволюции в виде Т-экспоненты является символом, смысл которого расшифровывается предыдущим явным выражением. Нетрудно показать, что Т-произведение экспонент обладает важным свойством. Для имеем

Если при то оператор в выражении (4.56) удовлетворяет требованию (4.50). В нашем случае это действительно так, если ток адиабатически выключается в далеком прошлом. -матрица определяется как предел

В данном случае и мы получаем

Определение хронологического упорядочения, обозначаемого символом Т, опирается на конкретные временные координаты. Поэтому последнее выражение на первый взгляд кажется нековариантным. Однако благодаря локальной коммутативности плотность коммутирует с если . Следовательно, изменение системы координат не меняет вида Г-произведения. В любой теории с взаимодействием без производных имеем

где обозначает t и предполагается, что все операторы являются -операторами. В результате общее «ковариантное» выражение для -матрицы записывается в виде:

Кавычки напоминают, что используемое нами предположение о локальности не исключает появления заведомо нековариантных сингулярностей на малых расстояниях, когда два аргумента совпадают. Изучением этих сингулярностей занимается теория перенормировок.

Сравним общее выражение [см. (4.58) и (4.60)] с полученным выражением (4.13). Эти два выражения согласуются между собой, если они различаются на ненаблюдаемый фазовый множитель. Это можно показать, используя то свойство, что коммутатор свободных полей представляет собой с-число Мы дадим здесь простое эвристическое доказательство данного утверждения, оставляя детальное доказательство читателю. В любом случае свойство, которое мы собираемся доказать, связано с важной теоремой Вика, подробным рассмотрением которой мы вскоре займемся. Запишем сначала S-матрицу как предел

Разобьем интервал на равных интервалов и обозначим через среднюю точку каждого из них: При больших N Т-произведение можно приближенно записать в виде

Поскольку коммутатор представляет собой очи воспользуемся тождеством (4.15) и перепишем это произведение следующим образом:

Считая, что и переходя к пределам находим

Операторы - это эрмитовы свободные поля; следовательно, их коммутатор является мнимым с-числом. Действительно, у нас имеются выражения для запаздывающего коммутатора и (1.170)]:

где

Окончательно получаем

Как и (4.16), последнее выражение можно записать в нормальной форме:

Во второй экспоненте величина в фигурных скобках есть с-число; следовательно, оно равно своему вакуумному среднему (в состоянии . Для простоты мы опустим обозначение и запишем

Теперь можно записать -матрицу в нормальной форме:

Заметим еще раз, что этот результат отличается от выражения только на ненаблюдаемый фазовый множитель.