5.2.2. Аннигиляция пар

Полученные в разд. 5.2.1 результаты позволяют вычислить вероятность родственного процесса, а именно вероятность аннигиляции пары с образованием двух фогонов. Обратный процесс мы рассматривали в гл. 4 За исходную можно взять формулу, аналогичную (5.88), но которая соответствовала бы редукции двух фотонов в конечном состоянии Однако, согласно статистике Бозе, если — телесный угол одного из полученных фотонов, полное сечение рассеяния получается интегрированием величины по углу т. е. величины по углу . Разумеется, наши выражения должны быть симметричными относительно перестановки двух фотонов.

Кинематика процесса воспроизводится на рис. 5.5, а, где электрон и позитрон аннигилируют, излучая фотоны . Соответствующая амплитуда имеет вид

Точно так же, как и прежде, будем проводить вычисления в низшем порядке, учитывая вклады того же типа, что и рассмотренные в разд. 5.2.1. Прямые вычисления дают

    (5.118)

Это выражение демонстрирует замечательную аналогию с соответствующей амплитудой эффекта Комптона.

РИС. 5.5. Аннигиляция пар. а — общая кинематика; б — диаграммы Фейнмана низшего порядка.

Соответствующий ему процесс представлен на рис. 5.5, б, где фермионные линии ориентированы в соответствии с протеканием заряда . Если протекает импульс позитрона, ориентация меняется на противоположную. Выражение (5.118) можно получить из формулы (5.104) для эффекта Комптона, производя в ней следующую простую подстановку:

При этом перекрестная симметрия заменяется бозе-симметрией амплитуды аннигиляции, а подстановка (5.119) дает еще один пример перекрестных соотношений между процессами.

Матричный элемент (5.118) позволяет получить сечение в случае неполяризованных электронов и позитронов. Множитель, связанный с потоком, равен , а статистическое усреднение приводит к множителю 1/4. Воспользуемся выражением, аналогичным (5.109):

Тогда сечение рассеяния можно записать в виде

Здесь поляризации фотонов ортогональны (и или соответственно). Производя в выражении (5.111) подстановку (5.119), находим след

Выполняя вычисления в системе покоя электрона, находим

где определяется условием сохранения энергии-импульса. Следовательно,

Окончательно получаем выражение

    (5.120)

которое дает дифференциальное сечение испускания одного из фотонов в направлении, определяемом телесным углом , соответствующим позитрону падающему на покоящийся электрон. В выражении (5.120) — обозначают энергии фотонов, причем

Чтобы получить полное сечение аннигиляции, нужно просуммировать по поляризациям фотонов:

и проинтегрировать по половине полного телесного угла . В результате получим

    (5.122)

где

В двух предельных случаях (порог) и (при высоких энергиях) находим

Используемое нами до сих пор борновское приближение, очевидно, не является достаточным при низких энергиях, когда электрон и позитрон взаимодействуют посредством дальнодейсгвующих кулоновских сил. Однако, рассматривая выражения (5.123) как первую грубую оценку, можно показать, что вероятность аннигиляции в единицу времени медленно движущегося позитрона, определяемая формулой

не зависит от его скорости. Здесь п — число атомов в единице обьема, а -атомный номер. Следовательно, время жизни низкоэнергетического позитрона в среде дается приближенно выражением

    (5.125)

Например, в свинце Общую формулу (5.122) впервые получил Дирак в 1930 г.