2.5.3. Применение к кулоновскому рассеянию

Кулоновское рассеяние будет служить пробным камнем для про. верки метода, опирающегося на функции распространения. Процесс, который мы здссь изучаем, - это рассеяние электрона с массой на центре, имеющем заряд и бесконечную массу. Заряд рассеивающего центра (расположенного в начале координат) создает в точке потенциал

В классической нерелятивистской механике траектории являются гиперболами. Угол рассеяния 0 и прицельный параметр b связаны друг с другом благодаря следующим соотношениям (обозначения см. на рис. 2.5):

1) геометрическим соотношениям

2) закону сохранения энергии

— импульс в точке

3) закону сохранения углового момента

Исключая из этих соотношений , получаем

Рассмотрим однородный поток электронов с плотностью и скоростью

РИС. 2.5. Кулоновское рассеяние на заряде, расположенном в точке Р.

Число частиц, рассеянных в телесный угол за единицу времени, равно числу падающих частиц, пролетающих через кольцо радиусом b и площадью , а именно

Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния, определяемое как отношение величины к падающему потоку, равно

Здесь - переданный импульс, . Это классическая формула Резерфорда.

Обратимся теперь к релятивистскому квантовому случаю. Используем выражение (2 116), в котором заменим S на зададим следующие граничные условия: при функция представляет собой падающую плоскую волну, соответствующую электронам с положительной энергией, в то время

как при волновая функция обращается в нуль. Поскольку функция не известна, мы ограничиваемся двумя первыми членами разложения (2,119) в ряд по теории возмущений. Пусть - решение свободного уравнения Дирака; это решение переходит в падающую волну при В соответствии с (2.119) волновая функция, вычисленная по теории возмущений, запишется в виде

где

    (2.123)

и

Поскольку при выполняется соотношение

мы имеем

когда ведет себя как решение свободного уравнения Дирака, соответствующее только положительным энергиям. В самом деле, используя выражение (2.112), находим, что в этом пределе вклад дает только первый член, что приводит к следующему результату:

    (2-124)

где

    (2.125)

Во втором выражении (2.124) интеграл заменен на сумму по всем конечным состояниям в конечном пространственном объеме при этом волна по конечным состояниям описывает частицу, имеющую в объеме V скорость и поляризацию а. Следовательно, амплитуда перехода между состоянием

и аналогичным состоянием дается выражением

Для кулоновской задачи где Таким образом, мы имеем

    (2.126)

Следует заметить, что здесь выполняется закон сохранения энергии. В заключение запишем необходимое преобразование Фурье кулоновского потенциала:

Мы используем здесь вместо волновых пакетов стационарные плоские волны; поэтому нет ничего удивительного в том, что квадрат амплитуды (2.126) не существует. Положение можно исправить, если в соответствии с золотым правилом Ферми рассматривать конечный временной интервал и заменить -функцию на выражение

Квадрат этого выражения ведет себя при больших Т как

Таким образом, вероятность перехода между состояниями i и в единицу времени в пересчете на одну падающую чаетнцу имеет вид

    (2.127)

Суммирование здесь проводится по всем возможным конечным состояниям, число которых в элементарном объеме импульсного пространства равно . Разделив последнее выражение на величину падающего потока получим дифференциальное сечение рассеяния

Чтобы выполнить тривиальное интегрирование по воспользуемся равенствами

    (2.128)

В нерелятивистском пределе величина пропорциональна . В случае когда поляризация в конечном состоянии не измеряется, нужно просуммировать по а, в случае же неполяризованного падающего состояния мы усредняем по двум равновероятным поляризациям :

Здесь вновь использовано выражение (2.40). Теперь нам понадобятся тождества для следов у-матриц. След произведения любого нечетного числа у-матриц равен нулю Для четного числа можно доказать по индукции следующее тождество:

В нашем случае эти свойства приводят к равенствам

Нам понадобятся также кинематические соотношения

где - начальная (или конечная) скорость, а

Окончательное выражение сечения рассеяния для неполяризованных частиц (сечение Мотта) запишется в виде

При это выражение переходит в формулу Резерфорда. Заметим также, что релятивистская поправка играет существенную роль в основном для рассеяния назад.

Этот результат получен для рассеяния электронов. Рассмотрим кратко рассеяние позитронов в том же самом кулоновском поле. Кулоновская сила притяжения теперь заменяется на силу отталкивания. В классической нерелятивистской механике мы снова приходим к формуле Резерфорда (этот замечательный результат является характерной чертой кулоновского поля). В нашем

квантовом рассмотрении нам известно, что теория инвариантна относительно зарядового сопряжения. Рассеяние электрона зарядом есть то же самое, что и рассеяние позитрона зарядом . С другой стороны, в низшем порядке сечение рассеяния является четной функцией от Z. Поэтому формула для сечения Мотта в случае позитронов также справедлива.

Можно проверить это прямым расчетом; однако мы предпочтем использовать теорию дырок. Позитрон в конечном состоянии с -импульсом и поляризацией а описывается решениями, соответствующими «падающим» волнам с отрицательными энергиями, причем эти решения распространяются назад во времени:

Таким образом, мы вновь приходим к выражению (2.116). Граничные условия на этот раз имеют вид

Повторяя этапы, которые привели нас от (2.122) к (2.125а), и обращая при этом внимание на знаки, получаем

Это выражение согласуется с результатом, полученным прямым вычислением. Падающий позитрон (с точностью до фазы) описывается волновой функцией

В соответствии с (2.125) рассеяние позитронов будет описываться амплитудой

    (2.131)

Отсюда очевидно, что это выражение приводит к сечению рассеяния (2.128).

Предоставляем читателю рассмотреть поляризационные эффекты или поправки, обусловленные отдачей ядер. Напомним только, что можно применить полезное понятие формфактора. Предположим, что мы изучаем рассеяние не на точечном заряде, а на распределении зарядов с конечными размерами, т. е. на ядре с конечным радиусом. Будем считать, что сферически-симметричное

распределение нормировано согласно условию

Как и в (2.1.26), сечение рассеяния в низшем порядке по а пропорционально величине где — фурье-образ потенциала . Из уравнения Пуассона находим, что величина связана с формфактором

соотношением Следовательно, сечение рассеяния должно быть исправлено в соответствии с выражением