6.3.2. Вещественные сингулярности

Вещественные сингулярности — это те сингулярности, которые имеют место для вещественных значений инвариантов на физическом листе. Заметим, что эти вещественные значения инвариантов необходимостью не соответствуют физически возможным кинематическим конфигурациям. Например, в случае упругого рассеяния двух частиц, находящихся на массовых поверхностях та и область является вещественной, но не физической

Если интегрирование проводить по вещественному контуру в параметрическом пространстве, то при вещественных значениях инвариантов и мнимых добавках к внутренним массам никакой сингулярности не возникает. Сингулярности образуются лишь в пределе

Можно показать, что любое вещественное решение уравнений Ландау соответствует зажиманию контура интегрирования при переходе к пределу и, следовательно, приводит к сингулярности интеграла.

Для того чтобы это показать, рассмотрим параметрическое представление (6.91). Начнем с анализа главной сингулярности, существующей при некоторых вещественных значениях инвариантов . Пусть уравнения Ландау имеют вещественные решения . В окрестности этой точки справедливо разложение

После диагонализации этой квадратичной формы получаем уравнение

с вещественными собственными значениями и убеждаемся, что по любой переменной решения уравнения — приближаются к вещественной оси с противоположных сторон за исключением, возможно, особого случая, когда означает что в каждом интегрировании по , - возникает пинч-сингулярность. Теперь можно расправшься с неглавной сингулярностью. Предположим, что среди решений уравнений Ландау параметров а, равны нулю После интегрирования по этим параметрам в окрестности нуля мы снова имеем предыдущий случай.

Для определения типа сингулярности, с которым мы имеем дело, можно применить тот же самый метод. Предположим, что мы находимся вблизи сингулярности посмотрим, какой вклад в интеграл дают точки, лежащие в окрестности Напишем разложение

в котором первый член обусловлен вариацией инвариантов, второй член — вариацией параметров а, вблизи нуля, а третий — вариацией параметров редуцированной диаграммы R. Поскольку для в выражении (6.91) знаменатель стремится к нулю как степень где - число независимых петель поддиаграммы, соответствующей Из простого подсчета мы видим, что интеграл как функция числа петель и внутренних линий редуцированной диаграммы ведет себя следующим образом:

    (6.108)

где

В любом случае, если - неотрицательное число, может появиться добавочная логарифмическая зависимость:

    (6.109)

В действительности этот результат не зависит от того, вещественна сингулярность или нет. Таким образом, мы приходим к заключению, что фейнмановские интегралы как функции инвариантных скалярных произведений обычно имеют логарифмические и корневые (второй степени) точки ветвления.

Вещественные сингулярности обладают рядом интересных свойств. Например, в параметрическом пространстве в точке, соответствующей решению уравнений Ландау, производные по параметрическим переменным равны нулю для всех ненулевых

РИС. 6.30. Диаграмма «пузырь».

Следовательно, такое решение соответствует либо локальному экстремуму, либо седловой точке на компактном множестве . С другой стороны, можно показать, что это не минимум функции . Например, диаграмма собственной энергии, приведенная на рис. 6.30, сингулярна при Функция для этой диаграммы имеет вид

При она имеет максимум, равный нулю в точке являющейся решением уравнения Ландау и принадлежащей интервалу . Конфигурации же, отвечающие седловым точкам, по-видимому, вообще не появляются в фейнмановских интегралах (хотя никаких доказательств этого утверждения авторам не известно). Таким образом, мы ограничимся рассмотрением решений, которые соответствуют локальным максимумам функции называемым порогами. В этих точках как реальная, так и мнимая части амплитуды сингулярны. Мы покажем, что при этом мнимая часть получает новый аддитивный вклад выше порога, в то время как вещественная часть имеет бесконечные производные высших порядков.

Проведем дальнейшую классификацию порогов. Нормальные пороги — это такие сингулярности, появление которых связано с унитарностью, о чем уже упоминалось во введении к данному разделу. Начнем со следующего определения. Множество внутренних линий диаграммы G называют промежуточным состоянием этой диаграммы, если после разрезания из этих линий диаграмма остается связной, а еще одно сечение приводит к ее разъединению на две части причем так, что каждая из

них имеет входящие внешние импульсы. Заметим, что в отличие от случая, когда вводились сечения С [см. выражение (6.87)], здесь могут все же содержать петли.

РИС. 6.31. Диаграмма с промежуточным состоянием с массами и соответствующая редуцированная диаграмма

Аналогично формуле (6.88) определим инвариант (см. рис. 6.31):

Тогда величина

    (6.110)

определяет нормальный порог амплитуды. С физической точки зрения — это наименьшее значение инварианта s, при котором возможно рождение физических состояний с массами

Покажем, что такое промежуточное состояние действительно соответствует решению уравнений Ландау. Для этого приравняем нулю все а, соответствующие линиям, не принадлежащим промежуточному состоянию, скажем Тогда для редуцированной диаграммы получаем

Уравнения имеют решение при нетрудно убедиться в том, что при значениях имеет максимум, равный нулю.

В противоположность наивным представлениям существуют и другие вещественные сингулярности, называемые аномальными порогами Эти сингулярности приводят к некоторым трудностям, поскольку их вклад в абсорбтивную часть амплитуды нельзя непосредственно связать через условие унитарности с физическими процессами. Возникновение аномальных порогов в амплитуде рассеяния соответствует ситуации, когда аксиоматический вывод дисперсионных соотношений больше не справедлив. Именно поэтому необходимо следить за возможностью появления таких сингулярностей Эта проблема довольно сложна, но в разд 6.3.3 мы постараемся ее проиллюстрировать на простых примерах.

В импульсном пространстве различие между нормальным и аномальным порогами можно интерпретировать при решении уравнений Ландау в терминах размерности пространства, натянутого на внутренние импульсы редуцированной диаграммы. В случае нормального порога внутренние импульсы образуют одномерное пространство, что видно из анализа системы уравнений (6.102) для редуцированной диаграммы, изображенной на рис. 6.30. Из этих уравнений следует, что все импульсы коллинеарны между собой, а потому коллинеарны и с внешним импульсом . В случае же аномального порога эта размерность больше единицы.