3.2.2. Пропагатор
Мы предполагаем, что пропагатор, как и в случае скалярного поля, определяется вакуумным средним хронологического произведения. До сих пор мы использовали калибровку Фейнмана. Хронологическое упорядочение строится, как и в выражении (3.87), путем умножения произведений полей на ступенчатые функции:
(3.123)
Однако в некоторых случаях такое определение может оказаться слишком упрощенным. При совпадающих временах это выражение априори является неопределенным. К счастью, в данном случае мы с этой трудностью не сталкиваемся. Подставляя в формулу (3.123) разложение (3.107) и используя коммутаторы (3.110), находим
(3.124)
Компоненты поля независимы. Отметим различие в знаке для пространственной и временной компоненты в (3.124). При 
имеем следующее явное выражение для пропагатора Фейнмана в 
-пространстве
Связь этих формул с процессом измерения электромагнитных полей рассматривается в классических работах Бора и Розенфельда.
В заключение прокомментируем вопрос о произволе в выборе параметра X в выражении (3.98). Из него мы выводим уравнения поля (3.99) и соотношения коммутации при совпадающих временах, которые имеют более сложную структуру:
Следовательно, существует связь между различными компонентами. Если записать классические решения уравнения (3.99) в виде
то можно получить следующее однородное матричное уравнение:
(3.127)
Для существования нетривиальных решений необходимо, чтобы детерминант 
обращался в нуль, откуда следует, что потенциал 
сосредоточен на конусе 
Однако его нельзя выбрать в простом виде 
поскольку это означало бы, что 
является решением однородного уравнения Клейна—Гордона, что неверно. Выражение для 
с необходимостью включает 
Эквивалентный подход к решению этого вопроса связан с соотношением
(3.128)
которое выполняется для не равных нулю 
Представляем читателю разобраться в деталях построения пространства состояний с индефинитной метрикой для данного случая. Однако мы приведем построение пропагатора. Упрощенное определение дает
(3.129)
Используя уравнения поля и коммутаторы при совпадающих временах, можно показать, что нековариантные члены обращаются в нуль, и мы получаем
Следовательно, учитывая (3.128) и фейнмановскую добавку 
находим
(3.131)
То, что знаменатель во втором члене последнего выражения равен 
а, скажем, не 
не кажется очевидным. Это можно проверить лишь путем последовательного вычисления, но вскоре, когда мы займемся изучением массивного векторного поля, такой результат станет понятным.
При 
вновь возникает калибровка Фейнмана. В случае 
появляется сингулярность определенного типа. Предельный случай 
называется калибровкой Ландау. Физические же результаты не должны зависеть от выбора X. Например, вычисляя интеграл типа
с гладким сохраняющимся током, нетрудно убедиться в том, что он действительно не зависит от X.
