2.2. ФИЗИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

2.2.1. Решения в виде плоских волн и проекционные операторы

Будем искать решения свободного уравнения Дирака (2.9) в виде плоских волн, т. е. в виде

при условии, что положительна Чтобы эти решения удовлетворяли уравнению Клейна—Гордона, должно также выполняться условие . Положительный времениподобный 4-вектор — это не что иное, как энергия-импульс частицы (в системе единиц, в которой ). Из уравнения Дирака следует

Предположим, что частица имеет ненулевую массу . В системе покоя частицы и уравнения (2.35) принимают вид

Очевидно, что имеется два линейно-независимых решения и и два линейно-независимых решения . В обычном представлении (2.10) мы будем обозначать эти решения следующим образом:

Преобразуем эти решения из системы покоя в систему, движущуюся со скоростью используя собственное преобразование Лоренца (2.19). Проще же, исходя из тождества

написать

Здесь Е обозначает положительную величину: двухкомпоненгные спиноры являются ненулевыми компонентами и соответственно.

Сопряженные спиноры запишутся в виде

Нормировочные множители выбраны нами так, чтобы выполнялись соотношения

Рассмотрим матрицу

При получении последнего выражения использовалось тождество, справедливое в случае а именно

Аналогичным образом положим

Операторы являются проекционными операторами на состояния с положительной и отрицательной энергией соответственно Они удовлетворяют соотношениям

В соотношениях (2.39) нормировка лоренц-инвариантна. Положительно-определенная плотность равна

Вычислим ее в случаях, когда решения имеют вид плоских волн с положительной энергией:

    (2.43а)

и с отрицательной энергией:

    (2.43б)

Спиноры были нормированы в состоянии покоя. Поскольку плотность, умноженная на объем, должна оставаться постоянной, то при релятивистском сжатии объема в раз плотность должна увеличиваться в такое же число раз.

Состояния с положительной и отрицательной энергией взаимно ортогональны, если мы рассматриваем состояния с противоположными по знаку энергиями, но с одним и тем же -импульсом:

Физический смысл решений с отрицательной энергией еще требует объяснения Кроме того, построенные нами состояния (описываемые плоской волной) не имеют смысла для частиц с нулевой массой. Этот вопрос мы подробно обсудим в разд. 2.4.3.

Чтобы описать остающееся вырождение решений и и и, построим операторы, проектирующие их на состояния с определенной поляризацией. Используя выражение (2.21), можно показать, что для любого пространственно-подобного нормированного 4-вектора ортогонального k, справедливо соотношение

Следовательно, в системе покоя

В обычном базисе имеем Если мы направим вдоль оси , то увидим, что решения (2.36) являются собственными состояниями оператора — с собственными значениями (спин вверх) для (спин вниз) для . Таким образом, оператор, проектирующий на состояния можно записать в виде

После преобразования Лоренца спиноры становятся собственными состояниями оператора где вектор получен преобразованием Лоренца вектора

Знак плюс соответствует а знак минус — . Оператор, проектирующий на состояния записывается в виде

Это выражение справедливо для произвольного нормированного вектора , ортогонального оператор проектирует на состояние, которое в системе покоя имеет спин для решения с положительной энергией и спин для решения с отрицательной энергией. (Обратите внимание на знаки )

Обозначим через собственные векторы соответственно для положительной и отрицательной энергии

Проектирующий оператор имеет следующие свойства:

Используя менее строгое условие на корму , величину

можно рассматривать как спиновую матрицу плотности

Существует специальный выбор , такой, что в данной системе отсчета пропорционально k. Пусть имеет вид

Данное определение поляризации называют спиральностью. При этом справедливо соотношение

из которого следует, что проектирует на состояния с положительной спиральностью и положительной энергией и на состояния с отрицательной спиральностью и отрицательной энергией.

В ультрарелятивистском пределе имеем поэтому