5.2. ПРИЛОЖЕНИЯ

Прежде чем развивать ковариантную теорию возмущений (см. гл. 6), проиллюстрируем известные уже нам методы, рассматривая в качестве примеров простые процессы с участием фотонов и заряженных фермионов

5.2.1. Эффект Комптона

В гл. 1 мы вычислили классическое томсоновское упругое рассеяние света на заряженном центре В 1923 г. Комптон при изучении рентгеновских лучей открыл процесс рассеяния со сдвигом частоты, который носит его имя.

Для определенности выберем в качестве мишени свободный электрон. При вычислении амплитуды эффекта в низшем порядке по (электронному заряду) будем опираться на выражение (5.88). В этом порядке а ток можно отождествить g током - свободных электронов:

    (5.102)

В дальнейшем мы будем опускать индекс «in» и отождествлять in- и out-сосгояния электрона, т. е. будем вычислять амплитуды

с точностью до . Сам процесс изображен на рис. 5.2, на котором волнистыми линиями представлены фотоны, а сплошными — электроны.

РИС. 5.2. Кинематика эффекта Комптона в общем случае.

Связные элементы -матрицы (индекс с означает «связывать») записываются в виде

    (5.103)

Хронологическое произведение операторов, согласно теореме Вика, записывается через нормальные произведения, с коэффициентами, построенными из спариваний

Применим теперь выражение (4.75); при этом опустим спаривания между операторами, относящимися к одной и той же точке, поскольку каждый из токов является нормально упорядоченным Таким образом, получаем

Остальные члены не дают вкладов в связаный матричный элемент. Выразим теперь свободные поля через операторы рождения и уничтожения [выражение (3.I57)]. Пусть обозначают начальную и конечную поляризации электрона, т. е.

тогда типичная величина, которую нам надо вычислить, имеет вид:

РИС. 5.3. Диаграммы Фейнмана низшего порядка для эффекта Комптона. Это позволит нам вычислить

Производя интегрирование по х, у и , получаем

Интегралы по конфигурационному пространству дают -функцию, выражающую сохранение энергии-импульса Величину в фермионных пропагаторах можно опустить, поскольку, добавляя изотропный вектор к импульсу на массовой поверхности, или вычитая его, мы с необходимостью получаем импульс вне этой поверхности.

Из проведенного в разд. 5.1 рассмотрения следует, что коэффициент в квадратных скобках — это редуцированный матричный элемент перехода

    (5.105)

В этом выражении оба члена можно представить диаграммами Фейнмана (рис. 5.3). Внешние линии наделены функциями поляризации , и или и и соответствующими импульсами. Внутренним линиям соответствуют пропагаторы Вершины представляют взаимодействие , и в каждой из них энергия и импульс сохраняются. Это объясняет, почему первый пропагатор соответствует импульсу а второй Полные энергия и импульс таким образом сохраняются всюду в диаграмме. Переход к пределу в случае фотонов является тривиальным, и легко проверить, что, если одна из поляризаций — продольная (соответствует индексу

3), выражение (5.105) обращается в нуль Поэтому мы ограничимся учетом только двух поперечных поляризаций

Используя выражение (5,105), вычислим сечение рассеяния фотонов на неполяризованных электронах в случае, когда поляризация конечного электрона не измеряется Для этого нам нужно усреднить вероятности по начальным поляризациям электрона и просуммировать по конечным. Следовательно, нам нужно вычислить с точностью до кинематических коэффициентов величину

Сечение рассеяния определяется из выражения (5 13), в котором делается соответствующее изменение, связанное с присутствием электрона в начальном [вводится множитель обусловленный потоком] и конечном состояниях [фазовый объем Таким образом,

Будем использовать переменные в системе отсчета, в которой

где Q — телесный угол, в который излучается фотон, измеряемый относительно направления начального импульса Мы имеем

Таким образом, сечение принимает вид

где кинематический коэффициент вычисляется с помощью закона сохранения импульса

Используя для фотонов обозначение сечение можно переписать в виде

Освобождаясь от у-матриц в знаменателе и используя уравнение Дирака, запишем матричный элемент следующим образом:

Поляризации поперечных фотонов можно выбрать ортогональными «временной» оси , а также . Тогда записанный выше матричный элемент принимает вид

Следует заметить, что общий вклад двух рассматриваемых диаграмм Фейнмана инвариантен относительно перестановки фотонных переменных начального и конечного состояний

    (5.107)

причем знак импульса меняется на обратный. Это пример новой симметрии амплитуды перехода, называемой перекрестной (кроссинг) симметрией, которую мы подробно изучим в разд. 5.3.2.

Используя соотношение

    (5.108)

можно теперь просуммировать по поляризациям электрона:

    (5.109)

где и след берется по дираковским индексам. В данном случае у нас получается громоздкое выражение:

След можно разбить на четыре члена, два диагональных, каждый из которых получается из другого подстановкой (5.107), и два перекрестных члена Последние совпадают друг с другом, поскольку след нечетного числа у-матриц равен нулю, а

в чем можно убедиться, транспонируя и связывая у с с помощью матрицы зарядового сопряжения С Остается вычислить два не равных

нулю следа. Попытаемся наивыгоднейшим образом использовать тождества применяя повторно тождество с целью перемещения соответствующих импульсов так, чтобы они оказывались рядом друг с другом:

Здесь на последнем этапе мы использовали условие сохранения импульса, которое дает (Мы выбрали ) Аналогичным образом получаем

Второй перекрестный член и наконец, получается из с помощью подстановки (5.107) Добавляя к этим величинам соответствующие множители, входящие в выражение (5 110), и используя соотношения для кинематических величин в лабораторной системе отсчета, получаем

    (5.111)

Подставляя это выражение в (5 106), приходим окончательно к формуле Клейна—Нишины (полученной в 1929 г. ) для сечения комптоновского рассеяния на свободных электронах:

Имеющийся здесь сдвиг частоты легко связать с углом рассеяния для этого нужно возвести в квадрат -векторное равенство . Мы получим . Таким ооразом,

В пределе низких энергий формула (5.112) сводится к сечению Томсона (см. разд. 1.3.2):

    (5.113)

Вблизи направления вперед, т. е. при формула Клейна—Нишины также сводится к нерелятивистскому выражению (5.113) независимо от величины энергии падающего фотона.

Если пучок падающих фотонов неполяризован, а поляризация конечного фотона не измеряется, то, как и в случае с электронами, чтобы получить сечение рассеяния неполяризованных частиц, мы должны усреднить сечение по и просуммировать по

Поскольку выполняется равенство (ср. с гл. 1), мы приходим к выражению

Наконец, интегрируя по углам находим полное сечение

Обозначим полное сечение рассеяния Томсона через а отношение энергии падающего фотона к энергии покоя электрона через т. е.

Тогда можно написать

    (5.116)

Из этого выражения мы получаем низкоэнергетический и высокоэнергетический пределы

    (5.117)

На рис. 5.4 приведена зависимость отношения от .

Мы проверили перекрестную симметрию амплитуды комптоновского рассеяния в низшем порядке по е. С помощью выражения (5.88) читатель может распространить это свойство на любой порядок Как показывают редукционные формулы, приведенные в разд. 5.1.3 и 5.1.4, это свойство можно обобщить на более сложные процессы, включающие две зарядово сопряженные частицы одна из которых находится в начальном состоянии, а другая — в конечном.

РИС. 5.4. Отношение комптоновского сечения для неполяризованных частиц к сечению Томсона как функция энергии падающего фотона .

Амплитуда инвариантна по отношению к замене входящей часгицы на выходящую античастицу с обращением знаков их -импульсов. Соответствующая амплитуда, разумеется, не является физической, поскольку она зависит от отрицательных энергий, однако на основе тех же редукционных формул можно построить аналитическое продолжение этих амплитуд (см. разд. 5.3.2.).