6.2. ДИАГРАММАТИКА

Рассматривавшиеся до сих пор борновские диаграммы, или древесные диаграммы, имели очень простой вид, поскольку они не требовали интегрирования по внутренним импульсам. Однако в общем случае мы имеем дело с более сложными диаграммами. В этом разделе мы изучим общие свойства фейнмановских диаграмм и приведем соответствующую терминологию. Ради простоты большая часть этого материала излагается, за немногими исключениями, на примере теории одного нейтрального скалярного поля.

6.2.1. Разложение по петлям

Разложение тесрии возмещений по петлям, т. е. разложение по возрастающему числу независимых петель связных фейнмановских диаграмм, можно рассматривать как разложение по степеням постоянной К. По определению число независимых петель есть не что иное, как число независимых внутренних 4-импульсов в диаграммах, когда в каждой вершине учтены законы сохранения. Для связных диаграмм с числом внутренних линий и вершин V мы имеем функций, выражающих закон сохранения, и с учетом сохранения входящих импульсов у нас остаются условий. Таким образом, число независимых импульсов, или петель, равно

Следует заметить, что L не есть число граней или замкнутых контуров, создаваемых внутренними линиями диаграммы

РИС. 6.22. Диаграмма «тетраэдр» имеет только три независимые петли.

Например, диаграмма в виде тетраэдра, приведенная на рис. 6.22, имеет четыре замкнутых контура, но лишь три независимые петли.

Чтобы найти связь между L и степенью величины h, соберем вместе все множители К. Мы не будем учитывать множитель h, который дает массовый член правильной размерности. Иными словами, уравнение Клейна—Гордона будем записывать в виде из которого следует, что массовый член имеет

как бы квантовое происхождение. В дальнейшем мы будем использовать этот факт. Таким образом, имеется два источника, приводящие к возникновению множителей Во-первых, множитель h включают в себя коммутационные (или антикоммутационные) соотношения, например вследствие чего k появляется в каждом пропагаторе

Во-вторых, входит явно в оператор эволюции следовательно, в оператор Таким образом, каждый пропагатор имеет множитель k, а каждая вершина — множитель . В диаграмме с числом внешних линий Е полная степень множителя равна Следовательно, при фиксированном числе внешних линий, т. е. для данной функции Грина, получаем результат, о котором было сказано в начале этбго раздела.

В системе единиц, где имеем следующие размерности. Для скалярного поля для константы связи X в это — (энергия и для спинорного поля Отсюда получаем правильную размерность для действия

или

Разумеется, диаграммы в низшем порядке по А представляют собой рассмотренные в предыдущем разделе борновские диаграммы без каких-либо петель.

Читатель может спросить, почему в теории с единственной константой связи топологическое разложение по петлям совпадает с разложением по степеням константы связи? Это совпадение обусловлено тем, что в такой теории существуют дополнительные соотношения между V, числом вершин (степенью величины . Рассмотрим, например, теорию подсчитывая полное число линий, входящих в каждую вершину, можно показать, что для диаграммы с числом внешних линий Е выполняется соотношение

Исключая отсюда с помощью (6.69), получаем (здесь Е — четное число).