2.3.2. Теория Дирака

Рассмотрим теперь результаты, предсказываемые уравнением Дирака. Прежде чем строить волновые функции, сначала, как и в случае уравнения Клейна—Гордона, попытаемся дать простой

вывод формулы спектра С этой целью квадрируем уравнение Дирака [ср. (2.73)] и подставим в него ненулевую компоненту потенциала . Удобно работать в киральном представлении у-матриц (2.20), в котором матрица является диагональной:

В уравнении (2.73) спиновый член записывается в виде

где — единичный вектор Аналогом уравнения (2.84) является уравнение для двухкомпонентных спиноров:

Полный угловой момент коммутирует с гамильтонианом и с ZA В подпространстве, в котором , целое число I принимает два значения: . Оператор а не имеет диагональных матричных элементов, он является эрмитовым, а квадрат его равен единице; поэтому в рассматриваемом подпространстве оператор имеет следующий вид:

Обозначим через собственные значения этого оператора, тогда . Следовательно, величину можно записать в виде

где

В этом случае опять-таки сдвинуто на чтобы оставалось целым. Условие ограничивает величину следующими значениями: для для . Следовательно, мы имеем двукратное вырождение состояний, за исключением состояния, отвечающего Окончательный результат выглядит следующим образом:

где . При происходит катастрофа; величина становится мнимой для зарядов, превосходящих это значение.

Вырожденные состояния могут различаться по их орбитальному угловому моменту который принимает значения (за исключением когда это в свою очередь связано с трансформационными свойствами состояния относительно пространственных отражений.

РИС. 2.2. Низколежащие уровни энергии атома водорода.

На рис. 2.2 показаны энергии низколежащих состояний; здесь мы использовали традиционное нерелятивистское спектроскопическое обозначение

Новым явлением оказывается тонкая структура спектра: раз лнчие по энергии между уровнями с разными , но с тем же самым значением . Например, для

Можно показать, что тонкое расщепление является следствием спин-орбитальной связи (2.82):

Для -волны этот член обращается в нуль, тогда как для -волны оператор принимает значения для соответственно. С другой стороны, из соображений размерности для среднего значения величины имеем где — числовой множитель. В любом учебнике по квантовой механике дается значение этого множителя: (в частности, ). Таким образом,

что согласуется с ранее сделанной оценкой. (Это справедливо также для более высоких значений )

Построим теперь спиноры, которые являются собственными состояниями энергии в этой задаче Возвращаясь к представлению Дирака (2.10), запишем биспиноры в виде найдем двухкомпонентные спиноры, которые являются собственными состояниями операторов с собственными значениями соответственно. Пусть -собственное состояние для .

Функции как собственные состояния оператора должны иметь вид

где - сферические гармоники. Эти функции должны быть также собственными состояниями оператора с собственным значением , а также собственными состояниями оператора с собственным значением для для Первое условие дает второе условие совместно с условием нормировки определяет величины а и b. Окончательно получаем спинорные гармоники в виде

Фаза выбрана таким образом, чтобы выполнялось равенство

Поскольку псевдоскалярный оператор, спиноры характеризуются противоположными четностями (их угловые моменты отличаются на единицу). Удобно ввести общее обозначение. Пусть обозначав если если Убедимся непосредственно в том, что имеет четность

Поскольку уравнение Дирака с кулоновским потенциалом

инвариантно относительно пространственного отражения, можно построить нечетные и четные собственные функции, а именно

Очевидно, что спиноры

имеют четность . В выражении (2.92) множители i и мы ввели для облегчения последующих вычислений. Замечая, что входящий в уравнение (2.91) гамильтониан Я можно представить в виде

выполним следующие промежуточные вычисления:

Аналогично имеем

Несколько затянувшаяся процедура разделения переменных приводит к паре радиальных уравнений

Чтобы решить эту систему уравнений, обозначим через введем новую переменную и для фиксированных I и новые функции

Исключая здесь получаем дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение для записывается виде

Соответствующее выражение для имеет вид

причем

Здесь — вырожденная гипергеометрическая функция, представляющая собой решение уравнения

При больших эта функция ведет себя как Требование, чтобы были нормируемы, т. е. , означает, что величина должна обращаться в нуль. Это дает искомое условие квантования:

которое приводит к выражению (2.87):

Объединяя все множители, можно написать выражение для нормированных решений , а следовательно, и для

Мы приведем здесь выражения для волновых функций только основного состояния:

и

Следует заметить, что . В нерелятивистском пределе и мы снова приходим к шредингеровским волновым функциям, умноженным на спиноры Паули. Кроме того, полученные волновые функции сингулярны в начале кооординат, но этот эффект заметен только, когда

Т. е. в очень малой области!

Чтобы сравнить эти результаты с экспериментально найденными положениями уровней, необходимо учесть ряд других эффектов

Сверхтонкая структура. В первом приближении мы пренебрегли магнитным создаваемым магнитным моментом ядра (в дальнейшем мы будем рассматривать атом водорода ). Взаимодействие спина протона с полным угловым моментом электрона расщепляет уровни на дублеты. Чтобы оценить этот эффект, воспользуемся нерелятивистским приближением для s-cocтояний. Гамильтониан нового взаимодействия запишется в виде

где

Здесь —спин электрона, а —магнитный момент протона. Напомним, что, если ток равен магнитный момент ; следовательно, ток, соответствующий магнитному моменту, локализованному в начале координат, имеет вид Таким образом,

В случае -состояний нам нужно иметь лишь усредненную по угловым переменным величину оператор можно заменить на Иными словами,

Вводя гиромагнитное отношение протона имеем при этом

Для основного состояния получаем

Величина принимает значения 1 в триплетном состоянии в синглетном. Окончательно находим (триплетсинглет) Гц. Мы видим, что это расщепление по сравнению с тонким меньше за счет множителя Разумеется, выполненные нами вычисления можно обобщать на волны более высокого порядка (I 1):

Радиационные поправки. Имеется несколько видов таких поправок Во-первых, возбужденные состояния являются нестабильными, они имеют ширину, и атомы могут спонтанно переходить в более низкое состояние.

В аерелятивистском дипольном приближении вероятность того, что за единицу времени произойдет радиационный переход между двумя состояниями к и дается выражением

где — приведенный матричный элемент дипольного оператора который определяется по теореме Вигнера—Эккарта:

В частности, для перехода находим

Во-вторых, заряженные частицы взаимодействуют с флуктуациями квантованного электромагнитного поля Последнее равно нулю лишь в среднем. Поэтому энергетические уровни оказываются несколько сдвинутыми Полное и систематическое рассмотрение их эффектов требует применения методов квантовой теории поля, которые будут изложены в дальнейшем. Здесь мы дадим предложенное Велтоном качественное описание главного эффекта, а именно лэмбовского сдвига Оно опирается на те же рассуждения, что и приведенные нами при обсуждении дарвиновского члена в предыдущем разделе, но в данном случае мы будем рассматривать флуктуации координат, обусловленные электромагнитным

полем, а не релятивистским дрожанием. Следовательно, дополнительный вклад в гамильтониан запишется в виде

где , и, следовательно, согласно закону Пуассона, . В этой простой картине, когда возмущение учитывается в первом порядке, вклад дают лишь -волны и уровень оказывается сдвинутым на величину

(Для волн более высокого порядка сдвиг значительно уменьшается из-за обращения в нуль волновой функции в начале координат.) Оценка величины основывается на классическом описании движения электрона в флуктуирующем поле (ядро, которое намного тяжелее электрона, считается неподвижным). Будем считать, что электрон осциллирует в соответствии с законом

Тогда компонента Фурье электрического поля отвечающая частоте о, дает вклад

В предположении, что между различными модами нет корреляции, получаем

Предвосхищая квантовое рассмотрение электромагнитного поля, предположим, что поле является когерентной суперпозицией плоских волн, и напомним, что энергия вакуума такого поля есть сумма энергий нулевых колебаний:

взятая по всем волновым числам k и поляризациям . В случае большого потенциального ящика размером L имеем

(составляющие являются целыми числами). Тогда

Следовательно, среднеквадратичное отклонение

Этот интеграл расходится как в области высоких, так и в области низких частот. Ультрафиолетовая расходимость (при ) связана с тем, что наше квантовое рассмотрение является неполным; в действительности происходит обрезание на расстояниях порядка что соответствует частотам со . С другой стороны, инфракрасная расходимость в области низких частот исключается при более точном рассмотрении электромагнитного поля в присутствии зарядов. Длинноволновые моды чувствительны к низколежащим состояниям электрона. Это приводит к инфракрасному обрезанию на частотах порядка Используя эти грубые оценки, получаем

и, следовательно, лэмбовский сдвиг

Для уровня атома водорода с сдвиг между состояниями численно равен

что приближенно согласуется с наблюдаемым сдвигом, равным 1057 МГц. Сравнивая этот сдеиг с дарвиновским членом [см. последний член в (2.82)], мы видим, что он в раз меньше. В дальнейшем мы существенно уточним данное приближенное рассмотрение (см. гл. 7).

Влияние ядра. Ядро имеет конечные размеры, его заряд не сосредоточен в точке, а распределен в некотором объеме. В случае протона распределение заряда ядра описывается формфактором. Это сказывается преимущественно на -состояниях, поскольку волновые функции с более высокими значениями I в начале координат равны нулю. Интересным следствием неточечности ядер является изотопический эффект, предсказанный еще в 1932 г. Он состоит в том, что уровни, отвечающие различным изотопам, несколько сдвинуты по отношению друг к другу.

В случае легких ядер основной вклад обусловливается разностью масс различных изотопов:

поскольку приведенная масса электрона определяется выражением . Однако в случае тяжелых ядер распределение заряда в конечном объеме играет значительную роль. В нерелятивистском приближении поправку можно записать в виде

где истинный потенциал, аппроксимирующий его кулоновский потенциал. Таким образом,

Здесь мы подставили проицтегрировали по частям и использовали закон Пуассона: . В соответствии с (2.84) мы видим, Этот эффект можно применить на практике для разделения изотопов. Первый луч лазера переводит атом данного изотопа в некоторое возбужденное состояние, а второй луч затем его ионизует. После этого можно произвести электростатическое разделение изотопов.

Другое следствие состоит в том, что значение критического заряда выше которого основное состояние становится нестабильным, оказывается более высоким, а именно

Двухчастичные релятивистские поправки. Последовательное рассмотрение должно также учитывать отдачу ядра. Эта задача является сложной, и ее решение нужно искать, опираясь на релятивистское двухчастичное уравнение (гл. 10). Однако с помощью эвристических рассуждений можно пролить некоторый свет на этот вопрос Мы видим, что энергетические уровни, получаемые как из уравнения Шредингера [см. (2.83)], так и из уравнения

Клейна—Гордона [см. (2.86)], можно интерпретировать с помощью следующего условия, налагаемого на скорость

Действительно, в случае уравнения Шредингера

в то время как для уравнения Клейна—Гордона откуда следует:

и искомый результат получается заменой на как и в выражении (2 86). В случае двухчастичной задачи соответствующей величиной является относительная скорость, т. е. скорость одной из частиц, измеренная в системе покоя другой частицы. Таким образом, получаем выражение

которое симметрично по отношению к замене . Используя снова наше эмпирическое правило

находим

или

Это выражение довольно хорошо описывает эффект отдачи, получаемый в более точной теории.