2.2.4. Преобразование Фолди—Ваутхайзена

В разд 2.2.3 физический смысл уравнения Дирака изучался с помощью нерелятивистского приближения. Покажем теперь, что такое изучение можно провести последовательным образом. Рассмотрим с этой целью преобразование Фолди — Ваутхайзена. Говоря точнее, мы хотим найти унитарное преобразование

которое разделяет малую и большую компоненты и в котором S может зависеть от времени.

Такие операторы, как а, которые связывают большую и малую компоненты, назовем нечетными, а четными — те операторы, которые эти компоненты не связывают (например ). Поскольку удовлетворяет уравнению

наша задача состоит в определении S таким образом, чтобы в гамильтониан Н не входили нечетные операторы до заданного порядка по Практически мы будем ограничиваться членами порядка (Кинетическая энергия ) или (Кинетическая энергия х Потенциальная энергия ). Это приведет нас к более глубокому пониманию роли релятивистских поправок, вытекающих из уравнения Дирака.

В свободном случае можно построить S точно. При этом оператор не зависит от времени и его можно выбрать следующим образом:

Поскольку мы можем вычислить в замкнутой форме:

Определяя 0 из условия

мы исключаем нечетный оператор Таким образом, Н - запишется в виде

как и следовало ожидать. Другими словами, мы представили Н в виде прямой суммы двух нелокальных гамильтонианов Очевидно, что в конфигурационном пространстве эти квадратные корни нельзя представить в виде конечного набора дифференциальных операторов.

В случае когда имеется взаимодействие, мы предполагаем, что S будет порядка Разложим в ряд, построенный из многократных коммутаторов:

При выводе последнего выражения было использовано общее тождество

где в каждый член суммы величина А входит раз. Это тождество легко получить, вычисляя последовательно производные от выражения при и используя их в (формальном) разложении в ряд Тейлора в точке

Будем исходить из гамильтониана , где - нечетный оператор, а - четный оператор Из решения, найденного в свободном случае, следует, что в первом порядке можно положить Таким образом, и соответствии с полученным выше выражением для Н находим

причем

и

где теперь порядка . Мы продолжим процесс итераций. Второе преобразование с приводит к выражению

где Наконец, третий шаг, в котором полагается устраняет этот нечетный член, и мы получаем искомый гамильтониан в виде

Заслуживает внимания интерпретация отдельных членов в (2.82). Член в квадратных скобках представляет собой разложение (до требуемого порядка) величины . Второй член — это электростатическая энергия точечного заряда, в то время как третий член — это энергия магнитного диполя в случае . Член в круглых скобках соответствует спин-орбитальному взаимодействию. Действительно, для статического сферически-симметричного потенциала . Следовательно,

и член в круглых скобках запишется в виде

Этой дополнительной магнитной энергии соответствует магнитное поле действующее на частицу Взаимодействие этого поля с магнитным моментом определяемым выражением (2.72), приводит к выражению

но благодаря томасовской прецессии этот результат уменьшается в два раза.

Наконец, последний член в выражении (2.82), называемый дарвиновским членом , можно связать с явлением дрожания. Координата электрона флуктуирует в области с размером таким, что Поэтому эффективная электростатическая энергия электрона равна среднему значению, определяемому выражением

В силу сферической симметрии случайная величина, входящая в последнее выражение, равна

и, следовательно, поправка к члену запишется в виде

что согласуется с величиной и знаком дарвиновского члена.

Читатель, по-видимому, заметил, что, поскольку преобразование Фолди—Ваутхайзена зависит от времени, средние значения величины Н в состоянии вообще говоря, отличаются от средних значений величины Н в соответствующем состоянии