6.3.4. Сингулярности в физической области; правила Куткоского

В физической области сингулярности соответствуют вещественным значениям внешних -импульсов Такое утверждение справедливо для нормальных порогов Аномальные же пороги не появляются как главные сингулярности в физической области, если справедливы условия стабильности внешних частиц, т. е. если для каждой вершины квадрат входящего -импульса меньше, чем наинизшее значение нормального порога в данном канале.

Коулмен и Нортон нашли следующую простую интерпретацию. В физической области главная сингулярность диаграммы G имеет место только в том случае, если вершины диаграммы G можно рассматривать как точки пространства-времени, а ее внутренние линии — как траектории реальных релятивистских частиц, находящихся на массовой поверхности

Это утверждение более удобно доказать с помощью смешанного представления (6 104). Для сингулярностей, расположенных в физической области, переменные интегрирования а, и должны принимать вещественные значения на решении уравнений Ландау, которые записываются [ср. с уравнениями (6.102), (6.103) и (6.106)] в виде

    (6.1276)

Вещественность внешнего импульса Р и переменных интегрирования q означает также вещественность величин к. В силу условия (6.127а) эти 4-импульсы находятся на своих массовых поверхностях.

Рис. 6.35. Иллюстрация правила Куткоского; разрез, отмеченный штриховой линией, даст вклад в сингулярность при . Импульсы принадлежат массовым поверхностям:

Что касается соотношения (6.1276), оно означает, что, если частица i распространяется с импульсом в течение промежутка собственного времени полное пространственно-временное смещение вдоль замкнутой петли равно нулю Иными словами, диаграмму можно рассматривать как истинный физический процесс.

Правила Куткоского дают компактное выражение для скачков на разрезе, который соответствует сингулярности, находящейся в физической области. Пусть - фейнмановская амплитуда, определяемая выражением (6,101), — соответствующий вклад в амплитуду рассеяния Скачок амплитуды в данном канале, связанном с определенным разрезом, получается следующим образом. Пусть внутренних импульсов находится на массовых поверхностях — импульсов — вне массовой поверхности Эти совокупности импульсов могут Оыть подразделены на две группы, относящиеся к двум

поддиаграммам каждая из которых имеет внутренних линий и вершин (рис. 6.35). Справедлива следующая формула:

Благодаря -функциям все частицы, соответствующие промежуточным состояниям, находятся на массовых поверхностях с положительной энергией. В физической области выражение (6.128) вытекает из того факта, что отдельные диаграммы удовлетворяют условию унитарности.

Нижеследующее элегантное доказательство мы заимствовали у Никаниши. Рассмотрим сначала произвольную диаграмму в рамках скалярной теории.

РИС. 6.36. Аналитические свойства диаграммы на рис. а такие же, как и у диаграммы на рис. б, которую можно рассматривать как вклад низшего порядка в амплитуду процесса на массовой поверхности теории,

Как известно, в любом случае можно построить эрмитов лагранжиан, такой, описываемой лагранжианом что амплитуда рассеяния некоторого процесса в наинизшем порядке будет описываться данной диаграммой. С этой целью поставим в соответствие каждой внутренней линии I входящей в диаграмму, поля различных видов с массами — масса в соответствующем пропагаторе). Кроме гого, если внешняя линия (или набор линий) с импульсом входит в вершину V, будем связывать с этой вершиной поле квадрат массы которого . При условии что исходную диаграмму можно теперь рассматривать как вклад низшего порядка в амплитуду рассеяния частиц, описываемых полями на массовой поверхности. Этот вклад определяется лагранжианом

Если в вершину v не входит ни одна из внешних линий и произведение пробегает по всем внутренним линиям, входящим в у, то в последней сумме нужно положить Эта конструкция иллюстрируется на рис. 6.36. Если t обозначает начальное состояние (для которого а - конечное состояние, то нетрудно проверить, что

где вычисляется с помощью и в то время как Т — это амплитуда, соответствующая исходной диаграмме Фейнмана G. Поскольку для процессов на массовой поверхности выполняется условие унитарности [соотношение (5.154)], имеем

На языке диаграмм Фейнмана сумма пробегает по всем возможным промежуточным физическим состояниям . т. е. импульсы в промежуточных состояниях находятся на их массовых поверхностях

Таким образом, условие унитарности приводит к соотношению

где сумма берется по всем разбиениям диаграммы G на две части При этом связана с начальным состоянием, конечным. Диаграмма С является объединением . Знак суммы подразумевает также интегрирование по фазовому пространству промежуточных состояний. Таким образом, мы снова получили правила унитарных рассечений.

Предлагаем читателю убедиться в справедливости этого правила для однопетлевых диаграмм.

Можно также попытаться распространить правила Куткоского за пределы физической области и тем самым обобщить условие унитарности. Например, в этом имеется необходимость, если приходится вычислять двойные спектральные функции, определенные в разд. 6.3.3 Однако доказательство таких общих правил Куткоского требует нетривиальных методов. В частности, следует проявлять осторожность в связи с тем, что смысл -распределения для комплексных k становится неопределенным.