3.4. ДИСКРЕТНЫЕ СИММЕТРИИ

Как это ни парадоксально, но роль симметрий более понятна, когда они нарушаются внешними факторами, например измерительной аппаратурой. Здесь мы дадим краткий обзор некоторых дискретных симметрий, возникающих в теории невзаимодействующих квантованных полей. Симметрии, носящие кинематический характер, мы уже рассматривали, а к внутренним симметриям вернемся в гл. 11 (см. т. 2 настоящей книги).

При активной точке зрения под симметрией понимается однозначное соответствие между состояниями, или, точнее, матрицами плотности, сохраняющее вероятности перехода

Это определение является несколько ограниченным, поскольку в нем выделяется роль времени, т. е. чистые преобразования Лоренца и обращение времени следует рассматривать независимо. Для последней симметрии это будет сделано ниже. По теореме Вигнера любое взаимнооднозначное отображение матриц плотности , удовлетворяющее условию может быть расширено до унитарного или антиунитарного оператора в гильбертовом пространстве.

Исходя из симметрии, установленной для матриц плотности, можно подобрать фазы состояний таким образом чтобы построить линейный (или антилинейный) оператор, действующий в гильбертовом пространстве. Группа симметрии обычно реализуется с помощью проективного представления вида , где — фаза.

В таком ограниченном смысле каждому унитарному оператору U, коммутирующему с гамильтонианом, отвечает симметрия Мы будем главным образом иметь дело с полем Дирака и предоставляем читателю самостоятельно рассмотреть случаи скалярного и векторного бозонных полей.

3.4.1. Четность

Мы предполагаем, что при соответствующем изменении экспериментальной установки можно получить состояние с преобразованной четностью. С теоретико-полевой точки зрения мы ищем унитарный оператор , удовлетворяющий условию

    (3.177)

поскольку из предыдущей главы нам известно, что удовлетворяет уравнению Дирака с преобразованной четностью Таким образом, можно предположить, что 53 коммутирует с Н. Из (3.177)

следует, что

Независимо от величины фазы относительная четность системы фермион—антифермион равна оператор кратен единичному. Унитарный оператор, удовлетворяющий этим условиям, имеет вид

    (3.179)

где произвольно, а . В частности, если Убедиться в том, что действительно является симметрией, можно проще всего, опираясь на соотношения, описывающие трансляции во времени:

Следовательно,

Кроме того, можно показать, что . В теории, описывающей взаимодействующие поля, полный оператор четности будет произведением операторов, относящихся к отдельным полям, В частности, мы предлагаем читателю построить оператор для электромагнитного поля, такой, что

    (3.180)

Читателю предлагается показать, что билинейный дираковский ток преобразуется аналогичным образом:

    (3-181)

Отсюда, используя равенство получаем, что лагранжиан взаимодействия

инвариантен относительно преобразования четности.