5.3.2. Причинность и аналитичность

Общее условие, носящее макроскопический характер и состоящее в том, что события должны происходить после причин, их вызывающих, требует не только того, чтобы причины могли быть однозначно идентифицированы, но и предполагает также справедливость термодинамической концепции необратимости, т. е. свойств, не относящихся к области микроскопической физики. К счастью, конечность скорости распространения сигналов позволяет дать ослабленною формулировку этого условия, не опирающегося на выбор привилегированной временной оси. Мы придерживаемся точки зрения, что области, разделенные пространственно-подобными интервалами, не влияют одна на другую. Иными словами, это означает, что локальные наблюдаемые, заданные в разделенных таким образом областях, коммутируют. Нам уже известно, что это можно также связать со свойствами коммутации (или антикоммутации) фундаментальных полей. Для простоты рассмотрим здесь только случай бозе-полей. В математическом смысле соответствующие свойства коммутаторов полей связаны с аналитическими свойствами их фурье-образов. Этот факт лежит в основе исследования показателя преломления света в среде, выполненного Крамерсом и Кронигом, установивших связь между дисперсией и абсорбцией. Отсюда и название «дисперсионные соотношения», применяемое для аналитических представлений амплитуд рассеяния.

Проиллюстрируем эти представления на примере. Рассмотрим упругое рассеяние частицы А с массой та на частице мишени В (с массой ). Предполагается, что обе частицы не имеюг спинов

(во избежание усложнений, связанных с техническими деталями, по существу не изменяющих выводов), но могут обладать зарядом. Следовательно, мы будем отличать частицу А от античастицы А и используем для их совместного описания комплексное поле рождающее А и уничтожающее А. Пусть начальный и конечный импульсы частицы начальный и конечный импульсы частицы тогда связную часть амплитуды рассеяния можно записать в виде

    (5.169)

Здесь множитель мы включили в определение поля. В случае когда находятся внутри верхней полы светового конуса, и правой части выражения (5.169) хронологическое произведение операторов можно заменить запаздывающим коммутатором

не изменяя величины Справедливость этого утверждения фактически доказана при выводе редукционных формул в разд. 5.1.3. Введем источник поля с помощью следующего уравнения:

    (5.170)

и для простоты предположим, что коммутируют при равных временах. Учитывая трансляционную инвариантность, выражение (5.169) можно записать в виде

где

Лоренц-инвариантность означает, что для частиц на массовых поверхностях зависит лишь от скалярных произведений импульсов, т. е. от двух из трех переменных Мандельстама.

Вследствие локальности запаздывающий коммутатор обращается в нуль, если не выполняются условия Анализ выражения (5.171) показывает, что — это аналитическая функция -вектора q в так называемой трубе будущего, определяемой условием, что является положительным времениподобным вектором. Это следует из предположения, что матричные элементы полей являются обобщенными функциями умеренного роста (т. е. полиномиально-ограниченными). Действительно, если то

экспонента в (5.171) обеспечивает обрезающий фактор если как , так и q, — положительные времениподобные векторы.

Рассмотренный пример указывает на прямую связь между свойствами локальности релятивистских полевых теорий и аналитическими свойствами функций Грина.

Прежде чем анализировать математические следствия этого результата, напомним свойство перекрестной симметрии. Предположим, что вместо процесса мы изучали бы рассеяние античастицы А на той же самой мишени Соответствующая амплитуда дается выражением

Заменяя переменную интегрирования на , это выражение можно переписать также в виде

Эта амплитуда отличается от амплитуды определяемой выражением (5.171), в двух отношениях Импульс заменен на , а запаздывающий коммутатор — на опережающий:

Мы можем изучать амплитуды для произвольных значений их аргументов, вместо того чтобы рассматривать реальные физические процессы, когда q и q принадлежат верхней поле светового конуса Покажем, что величина

обращается в нуль в некоторой области. Эта функция является фурье-образом коммутатора:

Если вакуум представляет собой изолированную точку в спектре, что означает отсутствие безмассовых частиц, то состояния таковы, что в каждой из сумм выражения (5.173) существует наименьшая положительная величина (вклад вакуума исключается гипотезой о связности). Следовательно, вне области, ограниченной двумя полами гиперболоидов, изображенными на рис. 5.8, . Одна из пол соответствует массе другая — массе а их центры расположены соответственно в точках заключаем, что амплитуды совпадают в нефизических точках, расположенных в незаштрихованной области рис 5.8

РИС. 5.8. Две полы гиперболоида, ограничивающие носитель коммутатора в импульсном пространстве Незаштрихованная часть рисунка соответствует области совпадения, обозначаемой

Это и есть свойство перекрестной симметрии, которая связьгеает процессы, получаемые друг и друга заменой частицы в начальном (конечном) состоянии на античастицу с противоположным по знаку (а потому не физическим) -импульсом в конечном (начальном) состоянии Понятие перекрестной симметрии станет содержательным, если нам удастся показать, что, отправляясь от физических значений импульсов, с помощью аналитического продолжения можно перейти в область совпадения амплитуд Это свойство является замечательным следствием теории поля

Пусть функция определяется выражением (5 172), в котором величина —q заменена на q. Заметим, что аналитична в трубе прошлого, т. е. когда — отрицательный времениподобный вектор

Таким образом, заведомо имеют непересекающиеся области аналитичности и совпадают в вещественной области Знаменитая теорема об острие клина, доказанная

Бремерманном, Оме и Тейлором, позволяет нам сделать вывод, что амплитуды являются аналитическими продолжениями одна другой и, кроме того, их общая область аналитичности шире, чем объединение труб будущего и прошлого и области

Если бы мы имели дело с функциями только одной комплексной переменной, то задача решалась бы легко. Действительно, если функции аналогичны соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости и совпадают на некотором отрезке вещественной оси, из теоремы Коши следует, что они представляют собой вегви одной и той же аналитической функции. Точки совпедения действительно являются точками аналитичности. Однако наш случай оказывается, очевидно, более сложным. Около каждой точки совпадения имеются щели, уходящие в пространственно-подобных мнимых направлениях, где ни ни не определены. Отсюда и образное название — острие клина. Кроме того, анализ в случае нескольких комплексных переменных открывает новые свойства по сравнению со случаем одной комплексной переменной. В многомерном случае, например, играет важную роль понятие оболочки голоморфности. Функцию нескольких комплексных переменных, аналитическую в области , можно продолжить по меньшей мере в область с тем свойством, что для любот из ее граничных точек мы можем найти аналитическое многообразие, т. е. набор нулей аналитической функции, лежащих (за исключением граничной точки, о которой идет речь) полностью вне области ) Это свойство называется псевдовыпуклостью (по аналогии с обычной выпуклостью), причем плоскости заменяются аналитическим многообразием В рассматриваемом случае, хотя и возможно чисто геометрическое построение области решить эту задачу позволяет полезное представление, обобщающее представление Челлена—Лемана для вакуумного среднего коммутатора.

Читатель может задаться вопросом, достаточно ли исходной области аналитичности, включающей трубы прошлого и будущего, чтебы можно было описать хотя бы такой простой случай, как рассеяние вперед, когда Следующее замечание рассеет наши сомнения. Пусть комплексный вектор q принадлежит массовой поверхности. Запишем его в виде . Тогда услозие означает, что и ортогональны, а для времениподобного это невозможно. Действительно, если бы это было так, то из условия ортогональности вектор должен быть пространственно-подобным, т. е. а значит, и разность была бы отрицательной. Таким образом, лишь q с отрицательным или комплексным квадратом массы принадлежит Для таких нефизических значений можно сразу написать дисперсионное соотношение, чтобы получить информацию о физических процессах. Нам, однако, остается еще решить задачу нахождения подходящего аналитического продолжения по