2.4.3. Частицы с нулевой массой

В разд. 2.2.1 при построении спинорных решений уравнения Дирака мы исключили из рассмотрения случай безмассовых частиц, т. е. с . Однако к безмассовым частицам относятся нейтрино, имеющие спин 1/2 (это устаревшие данные, нейтрино имеет вес). Кроме того, мы ожидаем, что при очень высоких энергиях частицы, обладающие массой, ведут себя как безмассовые. Учитывая это, мы подробно изучим такой случай. Будем исходить из уравнения Дирака для безмассовых частиц:

    (2.101)

Умножение этого уравнения на дает

    (2.102)

поскольку, например, Оператор киральности антикоммутирует с . Для решения с положительной энергией имеем

Из уравнения (2.101) следует, что значит , и уравнение (2.102) принимает вид

    (2.103)

Следовательно, киральность равна спиральности (для решений с отрицательной энергией они имеют противоположные знаки). Будем различать независимые решения уравнения (2.101) по значениям их кирадьности:

В обычном представлении следовательно, мы можем записать соотношения

где — полярные координаты единичного вектора к. Аналогично, для имеем

Таким образом, при данном k существуют только два независимых решения.

Экспериментальное наблюдение показывает, что существуют нейтрино лишь с отрицательной киральностью. Спиральность нейтрино равна —1, а спиральность антинейтрино Это можно объяснить более понятно, если перейти к рассмотрению двухкомпонентных спиноров. В самом деле, нет больше необходимости использовать -компонентные спиноры в уравнении Дирака для безмассовых частиц

поскольку алгебра

может быть реализована с помощью трех двумерных матриц Паули. Если отождествить с , то мы придем к частицам с положительной энергией и положительной спиральностью, в то время как замена дает отрицательную спиральность. Такие спиноры, первоначально введенные Вейлем, были отвергнуты вследствие того, что они несовместимы с сохранением четности (которая обращает знак спиральности). В настоящее время это не является серьезным возражением, поскольку нейтрино участвуют в слабых взаимодействиях, которые не сохраняют четность.

С помощью выражений (2,20) мы уже определили соответствующие киральные представления для а-матриц:

Для положительной киральности уравнение принимает вид

    (2.104)

тогда как для

    (2.105)

В обоих случаях мы имеем двухкомпонентную теорию и, уравнение Дирака эквивалентно паре уравнений Вейля. Так называемое зарядовое сопряжение С (нейтрино не имеет заряда!) связывает спиноры с противоположными киральносгями и меняет знак энергии. Инвариантность относительно С отсутствует, если в природе существуют нейтрино лишь одной определенной спиральности. Действительно, поскольку операция Р связывает между собой решения двух типов

( антидиагональна), комбинированная операция СР сохраняет уравнения Вейля инвариантными. В новом представлении матрица С, определяемая выражением (2.97), запишется в виде

Следовательно, операция СР действует в соответствии с выражениями

    (2.106)

для киральностей соответственно.

Мы видим, что лоренц-инвариантные нормировки (2.43а) и (2.436) решений, полученные для ненулевых масс, в случае безмассовых частиц должны быть изменены. Таким образом, запишем следующие уравнения:

и предоставим читателю самому построить соответствующие решения в виде плоских волн.