3.4.3. Обращение времени

В классическом смысле инвариантность относительно обращения времени нам вполне понятна. Если динамика обладает этой инвариантностью, то, изменяя скорости той конфигурации, которая рассматривалась как конечное состояние, на противоположные, мы видим, что система, развиваясь в обратном направлении, приходит к первоначальному состоянию. Следовательно, начальное и конечное состояния меняются местами, причем координаты сохраняются прежними, а скорости меняются на противоположные. В квантовой механике такая замена приводит к тому, что соответствующий оператор оказывается антиунитарным, т. е.

Требование инвариантности относительно означает, что

где Н — гамильтониан. Во всех рассматриваемых здесь случаях мы предполагаем трансляционную инвариантность во времени. Следовательно,

Амплитуда перехода из состояния в момент времени в состояние в момент времени равна соответствующей амплитуде перехода из состояния в момент времени в состояние

в момент времени . Действительно,

    (3.191)

Поскольку импульсы меняются на противоположные, а координаты сохраняются без изменения, то при действии оператора изменяется знак орбитальных угловых моментов; то же самое должно быть верно для спинов. В частности, спиральности остаются без изменения.

Для скалярного релятивистского квантованного поля Ф, удовлетворяющего уравнению Клейна—Гордона, имеем возможно, с точностью до знака (поскольку эрмитово) Это дает

    (3.192)

Для электромагнитного потенциала соответствующее преобразование запишется в виде

    (3.193)

Наконец, рассмотрим спйнорное поле в спиральном базисе. Потребуем, чтобы выполнялись соотношения

где — фиксированная фаза. Выберем таким образом, чтобы удовлетворяло обращенному во времени уравнению Дирака. Вследствие антилинейного характера оператора S получаем

Спиноры определяются выражениями (3.184). В интеграле мы заменили на . Если имеется постоянная матрица А, такая, что выполняются равенства

    (3.195)

то будет выполняться соотношение

    (3.196)

Из того факта, что матрица эрмитова, а матрицы у антиэрмитовы, мы имеем

Умножение на дает

Следовательно, можно предположить, что с точностью до фазы при условии, что двухкомпонентные спиноры связаны надлежащим образом. Покажем, что это действительно так. В стандартном представлении у-матриц имеем

Из этого соотношения видно, что нам нужно, чтобы было равно с точностью до фазы. В самом деле, поскольку оператор — унитарен и

мы имеем

и

Тогда Таким образом, с точностью до множителя, который может быть включен в мы действительно нашли матрицу А, входящую в соотношение (3.195), по крайней мере для -спиноров. Для у-спиноров можно выполнить аналогичные вычисления. Фазу обычно выбирают следующим образом:

    (3.197)

Тем самым мы полностью установили соотношение (3.196).