1.3.2. Излучение

В качестве элементарного приложения функций Грина напомним, как вычисляется электромагнитное поле, создаваемое движущимся точечным зарядом. Предположим, что — это траектория заряда в пространстве-времени, а — связанный с ним ток, определяемый выражением (1.51). Требование причинности обусловливает использование запаздывающей функции Грина при вычислении потенциала. Кроме того, замечания, сделанные в конце предыдущего раздела, позволяют непосредственно написать выражение для потенциала в калибровке Лоренца:

    (1.186)

Величина с точкой наверху обозначает производную по собственному времени. Пусть -единственная, зависящая от у точка запаздывания на траектории, такая, что

Справедливо следующее тождество:

Из равенства (1.187) итого факта, что на физической траектории точка принадлежит световому конусу, направленному в будущее, следует, что . Таким образом, мы получаем запаздывающий потенциал Льенара — Вихерта в виде

т. е. релятивистское обобщение кулоновского потенциала, к которому он сводится в системе, где . В явном виде, если имеем

Опуская индекс соответствующие напряженности можно записать в виде

Разумеется, эти соотношения справедливы и в точке запаздывания. Оба соотношения для Е и В содержат члены, пропорциональные дающие основной вклад на малых расстояниях, и связанные с излучением члены, пропорциональные . Поток энергии, проходящий через сферу, охватывающую заряд, выражается через вектор Умова—Пойнтинга следующим образом:

    (1.192)

При малых скоростях вклад от членов, ведущих себя как записывается в виде

т. е. соответствует обычным дипольным полям. В этом же пределе излучаемая энергия дается формулой Лармора

    (1.194)

Эти результаты применяются к решению многих интересных задач; на некоторых из них мы кратко остановимся здесь.

Рассмотрим, например, заряженную частицу, осциллирующую нерелятивистским образом под действием слабого электрического поля падающей на нее плоской волны с малой частотой.

РИС. 1.3. Излучение заряженной частицы, осциллирующей в поле плоской волны с волновым вектором к и поляризацией .

Движение частицы описывается уравнением

где — поляризация волны, - ее амплитуда, а k — волновой вектор. В соответствии с формулой Лармора энергия, излучаемая

в телесный угол (углы определены на рис. 1.3), определяется выражением

Если смещение частицы в течение периода представляет собой лишь небольшую долю длины падающей волны, то среднее значение величины равно

и, следовательно,

Средний поток энергии, падающей в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, задается усредненным вектором Умоза—Пойнтинга падающей волны, т. е. равен . Определим дифференциальное сечение рассеяния как отношение энергии, излученной в единичный телесный угол, к потоку энергии, падающей на единичную площадку:

Здесь — классический электромагнитный радиус (в этом выражении восстановлена скорость света с):

причем классический радиус электрона равен см, а — постоянная тонкой структуры Выражение (1 198) известно как формула Томсона для сечения рассеяния; оно приведено здесь для случая падающей поляризованной волны. Для углов определенных на рис. 1.3, справедливо соотношение

Чтобы получить дифференциальное сечение, достаточно выполнить усреднение по

    (1.200)

Рассеяние максимально в двух направлениях: вперед и назад. Формула Томсона для полного сечения представляет собой

интеграл от выражения (1.200) по телесному углу

    (1-201)

Для электрона это дает Напомним, что выражение (1.201) справедливо для слабых полей и малых частот, . В случае когда , или ( — квантовомеханическая комптоновская длина волны), начальная частота больше не сохраняется, и мы имеем дело как с квантовомеханическим, так и с релятивистским эффектами, и процесс в этом случае называется комптоновским рассеянием (см. гл. 5). При этом сечение рассеяния с хорошей точностью определяется формулой Клейна — Нишины (5.116) и (5.117) Мы приведем здесь лишь поправку низшего порядка по к томсоновскому рассеянию:

    (1-202)

Аналогичным образом можно описать классическое тормозное излучение, т. е. излучение внезапно ускоренного заряда. Пусть - соответственно начальная и конечная 4-скорости (рис. 1.4).

РИС. 1.4. Тормозное излучение.

Выберем начало координат в пространственно-временной точке ускорения, которую можно представлять себе как идеализацию акта столкновения. Пространственно-временная траектория параметризуется следующим образом:

    (1-203)

При этом выражение для тока запишется в виде

После преобразования Фурье получаем

Потребуем, чтобы при электромагнитное поле сводилось к кулоновскому полю падающей частицы, поскольку сохранение тока запрещает обращение в нуль величины когда Используя определение (1.173), запишем в калибровке Лоренца:

    (1.205)

Мы представили как сумму поля излучения (решение однородного уравнения Максвелла) и кулоновского поля, связанного с частицей Следовательно,

При этом

Плотность излученной энергии дается выражением (1.117):

Определим для изотропного вектора два ортогональных пространственно-подобных вектора поляризации удовлетворяющих соотношениям

    (1.208)

Нетрудно показать, что энергия испускаемая в момент времени равна

    (1.209)

Дадим предварительную интерпретацию этого излучения в терминах световых квантов, т. е. фотонов с импульсом . В дальнейшем будем полагать . Тогда энергия, излученная в элемент фазового пространства запишется в виде

С помощью этого полуклассического вычисления можно найти число испущенных фотонов с поляризацией е; для этого энергию

отдельного кванта нужно разделить на

    (1.211)

Этот результат фактически согласуется с полным квантовомеханическим рассмотрением (см. разделы 5.2.4 и 7.2.3). Интегрируя по k (в области малых k), мы видим, что полная энергия конечна, а полное число фотонов бесконечно. Это явление носит название инфракрасной катастрофы, ниже мы его обсудим более подробно.

Представляет интерес угловое распределение, определяемое выражением (1.211). В системе координат, в которой , учитывая, что равенство сводится к находим

    (1-212)

Следовательно,

Это выражение можно переписать в терминах начальной и конечной скоростей частицы:

    (1.213)

где . В случае испускания мягких квантов излучение имеет четко выраженные пики в направлениях начальной и конечной скоростей, что является типичным свойством тормозного излучения.

Чтобы вычислить полное число излученных фотонов, проинтегрируем (1.211) от нижней границы вводимой из-за инфракрасной катастрофы, до некоторого максимального импульса необходимость введения которого связана с нереально острым углом в траектории (1.203). Сечение будет описывать процесс столкновения, а в полное сечение рассеяния будут входить конечные испускаемые фотоны. Чтобы проинтегрировать (1.211), введем обозначение в ультрарелятивистском пределе, когда (здесь - угол рассеяния); в нерелятивистском пределе мы имеем Используя интегральное представление Фейнмана

    (1,214)

вычисляем

Кроме того,

Окончательное выражение для сечения излучения мягких фотонов можно записать в виде

В этом беглом обзоре задач, связанных с излучением, мы пренебрегли взаимодействием частицы с собственным полем излучения. То же самое относится и к рассмотрению движения в разд. 1.3. В принципе такой подход является неправильным, за исключением экстремальных случаев, где это вполне оправданное приближение Действительно, из формулы Лармора (1.194) следует, что энергия излучения . Поскольку мала по сравнению с характерными значениями энергии задачи, например с энергией движущегося заряда можно пренебречь классическими радиационными поправками. Это приводит к условию

где мы ввели характерное время излучения Наоборот, поправки становятся существенными, если силы заметно изменяются за время или на расстояниях

Развитая Лоренцем классическая теория точечного заряда, включая радиационные поправки, была предметом многочисленных споров до открытия квантовой механики, которая значительно изменила наши представления. В большинстве случаев классическая механ не является подходящим приближением. Поучительно, однако, понять, насколько ограничена область ее применимости на примере наиболее изученного объекта, а именно точечного заряда. Приведем эвристический способ вычисления поправки к силе Лоренца, учитывающей самодействие. Напишем уравнение движения

    (1.217)

Дополнительный член должен быть 4-вектором, таким, чтобы при малых скоростях из уравнения (1.217) получалось нерелятивистское соотношение Лармора для потерь энергии, а именно

Кроме того, вследствие трансляционной инвариантности должен зависеть только от и и ее производных по собственному времени. Если частица не имеет структуры, не должно быть никакой другой величины, не зависящей от , с размерностью длины. В заключение нам нужно сохранить определение собственного времени, так чтобы оставалось равным единице, и, следовательно, должно равняться нулю.

Четыре-вектор — имеет четвертую компоненту, сводящуюся в нерелятивистском пределе к . Условие приводит к комбинации — ортогональной к . Следовательно, учет сформулированных выше условий приводит нас к классическому уравнению Лоренца—Дирака в виде

    (1.218)

где представляет собой воздействие всех внешних зарядов. Временная компонента этого уравнения дает релятивистское обобщение баланса энергии:

    (1.219)

В правой части первый член, очевидно, соответствует работе внешних сил; второй — это диссипативный ларморовский член. Третий член (так называемый энергетический член Шотта) является полной производной. Им можно пренебречь при усреднении по (почти) периодическим движениям или, в более общем случае, когда изменение ускорения мало в течение временных интервалов порядка Первоначальный вывод уравнения данный Лоренцем, основывался на сферической модели заряда, и не был безупречен с релятивистской точки зрения. Дирак получил то же самое уравнение в последовательном релятивистском подходе, используя локальные законы сохранения энергии и импульса. Однако оба должны были учитывать бесконечный (положительный) вклад в инертную массу, равный электростатической кулоновской энергии заряда, — типичный ренормализационный эффект. Если бы наблюдаемая масса имела только электромагнитное происхождение, то мы должны были бы ввести в эту кулоновскую энергию обрезание на коротких расстояниях а, такое, чтобы откуда Имеется, следовательно, ограничение на расстояния, за пределами которого классическая физика встречается с трудностями Эта граница намного меньше расстояний порядка комптоновской длины волны на которых становятся важными квантовые эффекты . Поэтому классические эффекты малых расстояний затушевываются на фоне квантовых эффектов Мы убедимся, например, в том, что

«голая» масса электрона со спином 1/2 расходится только логарифмически, а нелинейно (обратно пропорционально расстоянию), как здесь.

Даже если не обращать внимания на эти бесконечности, можно ожидать, что на малых расстояниях или для малых интервалов времени могут появиться осложнения Так, рассмотрим более внимательно уравнение движения, пренебрегая даже диссипативным и релятивистским эффектами. Перепишем его в трехмерных обозначениях:

    (1.220)

В отсутствие внешних сил кроме решения, соответствующего свободному движению , уравнение допускает быстро растущие «самоускоряющиеся» решения математической точки зрения такие решения связаны с наличием высших производных в уравнениях, которые приводят к полностью нефизическим ситуациям.

РИС. 1.5. Предускорение классического заряда.

Чтобы получить разумные результаты, необходимо учитывать граничные условия и уравнение (1.220) заменить интегродифференциальным уравнением, которое включает эти условия (в частности, условие при если в этом пределе обращается в нуль). Таким образом, можно записать следующее уравнение:

    (1.221)

В этом уравнении быстро растущие решения исключены, но возникает новое нежелательное свойство, а именно предускорение. Если равно нулю при отрицательных (рис 1.5), то v не равна нулю, а начинает увеличиваться в более ранние моменты времени порядка с в случае электрона); это время, за которое свет проходит расстояние, равное электромагнитному радиусу. Здесь мы снова можем убедиться в том, что благодаря учету квантовомеханических эффектов эти нежелательные явления не наблюдаются. Включение внешнего поля в течение интервала времени А означает, что энергия имеет неопределенность порядка

Если соизмеримо с то мы имеем Следовательно, классические эффекты, не имеющие причины, являются ненаблюдаемыми.

В своих рассуждениях мы умолчали о тех трудностях, которые связаны с радиационными поправками. Однако эти поправки можно учитывать в определенных обстоятельствах при изучении таких явлений, как уширение спектральных линий, поправки на рассеяние и т. п.