7.3.2. Лэмбовский сдвиг

Измерение в 1947 г. Лэмбом и Резерфордом сдвига уровней, соответствующих состояниям атома водорода , которые должны быть вырожденными в соответствии с теорией Дирака, стало памятным событием, стимулировавшим развитие квантовой теории поля Здесь мы удовлетворимся простым рассмотрением эффекта, оставляя в стороне более глубокие вопросы, связанные с формулировкой релятивистской теории связанных состояний Фактически то, что изучали Лэмб и Резерфорд, - это поведение в зависимости от наложенного магнитного поля В пределе нулевого поля наблюдаемое значение расщепления уровней оказалось на МГц ниже, чем то, которое можно было ожидать из тонкой структуры уровней .

Чтобы проанализировать это расхождение, будем следовать ипальной работе Бете, в которой теория Дирака сочетается с радиационными поправками, как это уже делалось ранее в настоящей главе Мы показали, что поляризация вакуума, приводящая к изменению эффективного потенциала, вызвала увеличение энергии связи, соответствующей уровню на 27 МГц по сравнению с Следовательно, это не может быть главной причиной, поскольку, согласно экспериментальным наблюдениям, уровень должен располагаться значительно выше уровня Разумеется, полная теория требует учета всех эффектов одного и того же порядка и включения поправок, связанных с ядром (с его магнитным моментом, отдачей, формфакторами, поляризуемостью и т. д.) Кроме того, все возбужденные уровни метастабильны, а это означает, что соответствующие линии спектра имеют естественную ширину.

В гл. 2 мы приводили рассуждения Велтона, который рассматривал взаимодействие связанного электрона с вакуумными флуктуациями электрического поля и получил правильную как по знаку, так и по порядку величины оценку сдгига:

    (7.102)

Здесь мы дадим более точную количественную оценку этой величины.

Будем исходить из выражения для эффективного гамильтониана взаимодействия электронов с внешним полем (7.77) Оно приводит к модифицированному уравнению Дирака

    (7.103)

в котором учтены поляризация вакуума и вершинные поправки, вычисленные для случая медленно меняющегося внешнего поля Дифференциальные операторы внутри фигурных скобок действуют только на кутояовский потенциал

Величину следует интерпретировать как матричный элемент оператора поля между вакуумом и одноэлектронным состоянием в присутствии внешнего поля. В соответствии с правилами теории возмущений добавочный член надо учитывать только в первом порядке. В противном случае наше вычисление будет логически непоследовательным. Невозмущенные состояния являются решениями уравнения Дирака

    (7.104)

которое обсуждалось нами в разд. 2.3. Следовательно, сдвиг уровня дается выражением

    (7.105)

где обозначает решения, отвечающие набору квантовых чисел уравнения (7.104).

В качестве первого приближения для (7.105) можно использовать даже нерелятивистское выражение для таким образом, что

Это дает

Запишем раздельно вклады двух членов (7.105):

    (7.106)

мы имеем

    (7.107)

Релятивистские волновые функции сингулярны в начале координат. В более строгом рассмотрении мы должны были бы избегать разложения в гамильтониане эффективного взаимодействия по степеням . Поскольку в выражение (7.105) входят только средние значения потенциала, полученный выше результат является верным вплоть до порядка

Рассмотрим теперь второй вклад , который мы хотим вычислить в том же духе, что и первый. Нам придется прибегнуть к уравнению Дирака, поскольку у-матрицы связывают малые и большие компоненты. Мы получаем для следующее выражение:

    (7.108)

который описывает эффект аномального магнитного момента, индуцирующего электрический дипольный момент движущегося электрона Если пренебречь кулоновским потенциалом, то большая и малая компоненты связаны приближенным соотношением

Поскольку и справедливы соотношения

после интегрирования по частям интеграл (7.108) принимает вид

Как и в случае сверхтонкого взаимодействия, рассмотрение такой сингулярной величины, как требует некоторой осторожности. Напомним, что . Будем считать, что — это спинор Паули, и используем оператор нерелятивистского углового момента , а также тождество

В результате получим

Нам известно значение волновой функции в нуле. Матричный элемент значение величины для состояний с угловым моментом, равным или большим единицы, запишется в виде

Объединяя полученные выше результаты, находим

    (7.109)

где

Для состояний с не равным нулю орбитальным моментом вклад обращается в нуль, в то время как дает малый вклад порядка связанный с аномальным магнитным моментом электрона.

Для -состояний величина все еще включает фиктивную массу и расходится, когда . Это указывает на то, что мы пренебрегли каким-то существенным вкладом. Согласно качественным рассуждениям, эффективное инфракрасное обрезание, по-видимому, должно происходить не при произвольном значении а на расстояниях порядка воровского радиуса Ошибка кроется в использовании эффективного взаимодействия (7.77) при произвольно больших длинах волн. Для длин волн, сравнимых или больших, чем боровский радиус, радиационные поправки уже должны учитывать кулоновское взаимодействие, т. е. они вычисляются для связанного, а не свободного электрона.

Чтобы учесть этот эффект, воспользуемся тем, что отношение энергии связи к массе электрона очень мало, а именно порядка Введем обрезание К для -импульса виртуальных фотонов, такое, что . В случае электроны можно рассматривать в нерелятивистском приближении, и мы сможем принять во внимание ядерный потенциал В случае будем пренебрегать эффектами связи и использовать предыдущие результаты, за исключением тех случаев, когда необходимо точно учитывать соотношение между К и .

Чтобы выполнить намеченный план, обратимся к разд. 7.2.3, в котором мы выразили сечение мягкого тормозного излучения через интеграл от следующей величины:

Эта величина была вычислена при но не при Повторим эти вычисления, полагая но обрезая -импульсы фотона снизу величиной . Обозначим соответствующий этому интеграл через Сравнивая В и мы получим соотношение между Определяя гиперболический угол из соотношения

находим

Полученное нами выражение для В записывалось в виде [см. (7.88)]

Скорость связанных электронов мала: Поэтому уместно сопоставить предельном случае, когда При данных обстоятельствах интеграл, определяющий В, приближенно равен

В этом случае можно отождествить В и при условии, что

В данном расчете лэмбовского сдвига мы учитываем только одну виртуальную фотонную линию. Кроме того, большая масса ядра задает привилегированную систему отсчета, в которой такое расщепление законно. Разложим соответственно на две части: Величина дается выражением (7.107) с подстановкой, вытекающей из (7.110). Оставшаяся часть должна быть вычислена независимо. Более правильное выражение запишется в виде

Оно приобретает смысл, если зависимость от К в взаимно сокращается.

Чтобы получить вернемся к исходной процедуре вычисления радиационных поправок с той оговоркой, что импульсы виртуального электромагнитного поля ограничены параметром обрезания К. Следовательно, для вычисления можно воспользоваться вторым порядком нерелятивистской теории возмущений, основанной на уравнении Шредингера следующего вида:

    (7.112)

Здесь волновая функция, описывающая как электрон, так и поле излучения . В случае невозмущенного состояния она соответствует связанному электрону и электромагнитному вакууму. Поле излучения эффективно описывается потенциалом

Рассмотрим взаимодействие с полем излучения в низшем неисчезающем порядке и вычислим оба вклада Первый вклад возникает от диаграммы типа «чайка», определяемой членом, квадратичным по Его можно включить в Е как вклад в перенормировку массы, поскольку он одинаков для всех уровней. Второй вклад запишется в виде

    (7.114)

где обозначают невозмущенные уровни; Область интегрирования по х эффективно ограничивается боровским радиусом Соответственно имеем Согласно нашему предположению о характере параметра обрезания К, величину можно считать очень малой, что оправдывает дипольное приближение, в котором ел х заменяется единицей. Определим вектор и заметим, что

Таким образом, получаем

Это выражение не является еще правильным, поскольку в нем не учтена перенормировка массы, в том смысле, что в определение входит физическая масса Из нее необходимо еще вычесть вклад очень мягких фотонов в собственную массу. Иными словами, в гамильтониан должен быть введен контрчлен вида . При этом выбирается таким образом, чтобы в случае свободного электрона Поскольку

то очевидно, что правильное выражение для запишется в виде

На этой стадии мы можем проводить только численные расчеты. Бете, который первым вычислил этот нерелятивистский вклад, ввел следующее логарифмическое среднее. Для состояния в s-волне определим с помощью соотношения

    (7.117)

Здесь используется произвольная, но фиксированная энергетическая шкала Это определение становится бессмысленным для волн более высоких порядков для которых, как мы вскоре убедимся, знаменатель в (7 117) обращается в Следовательно, в этом случае не зависит от К, что является благоприятным обстоятельством. Тем не менее для этого случая определим величину следующим образом:

В случае s-волн, используя соотношение (7.117), имеем

Преобразуем это выражение. Если шредингеровский гамильтониан, включающий кулоновский потенциал, то можно написать

Отсюда для s-волн находим

    (7.119)

Соберем теперь все вклады: определяемый формулами (7.118) и (7.119), определяемый (7.111), и , задаваемый формулой (7.109) (он дает вклад также и для . Произвольные величины и К выпадают, и мы имеем для лэмбовского сдвига следующее выражение

где даются формулой (7.109).

Главный вклад был вычислен Бете, в то время как члены порядка были получены Кроллом и Лэмбом, а также Фрэнчем и Вайскопфом.

В случае атома водорода величина расщепления уровней вычисленная по формуле (7.120) с использованием численных значений

    (7.121)

равна

Это значение хорошо согласуется с измерением, выполненным в 1953 г. Трибвассером, Дейхоффом и Лэмбом, а именно со значением МГц, Чтобы улучшить вычисления, необходимо разработать более точный теоретический подход. Дальнейшие поправки должны включать уточнение электронного пропагатора в кулоновском поле (высшие степени и логарифмы ) и требуют рассмотрения радиационных поправок высших порядков. Следует также учесть отдачу ядер [в членах и эффекты конечных размеров ядер [в членах ]. Это сделали Эриксон (1971 г.), нашедший величину расщепления 1057,916 ± 0,010 МГц, или Мор (1975 г.), получивший 1057,864 ± 0,014 МГц, При вычислении этих значений основная неопределенность обусловлена высшими порядками по связи и вторым порядком для собственной энергии электрона, Последние экспериментальные значения составляют МГц (Лундин и Пипкин, 1975 г.) и 1057,862 ± 0,020 МГц (Эндрюо и Ньютон, .