7.1.4. Выводы

Опишем здесь кратко, чего мы достигли, устранив ультрафиолетовые расходимости Мы ввели три расходящиеся константы:

1. — калибровочно-неинвариантные и имеющие инфракрасную расходимость, но равные друг другу в силу тождества Уорда.

2. — калибровочно-инвариантные и свободные от инфракрасных расходимостей. Мы вычислили в первом порядке по таким образом, что лагранжиан

будет приводить в том же порядке к конечным перенормированным двух- и трехточечным функциям. Мы увидим, что то же самое справедливо для функций Грина более высоких порядков.

Массовый член фотона обозначался как . Мы отмечали, что в теории массивных частиц радиационные поправки смещают истинное положение полюса на величину, связанную с константой перенормировки волновой функции, поскольку поляризации вакуума имеет тольку одну общую расходимость Проще определить соответствующий размерный параметр как взятый со знаком минус коэффициент при члене в обратном пролагаторе при нулевом импульсе:

    (0)

где - (бесконечная) голая масса. Следовательно, . В теории массивных векторных бозонов реальная физическая масса связана с конечным перенормировочным фактором.

РИС. 7.13. Примеры однопетлевых диаграмм в отсутствие внешних фермионных линий, с двумя и четырьмя внешними фермионными линиями.

Сейчас необходимо убедиться в том, что функции Грина более высоких порядков являются конечными, поскольку мы уже исчерпали свободу выбора, определив измеримые величины — массу, константу связи и вычеты в полюсах Этот анализ представляет интерес и вследствие того, что имеется еще одна величина, опасная с точки зрения расхотимостей, а именно амплитуда фотон-фотонного рассеяния. Если бы мы рассматривали бесспиновые заряженные бозоны, то для осуществления перенормировки понадобилась бы новая физическая константа, отсутствующая, очевидно, в приближении борновских диаграмм. В этом случае нам пришлось бы задать нормировку амплитуды упругого рассеяния заряженных частиц

Механизм, ответственный за ультр; фиолетовые расходимости в однопетлевых интегралах, можно описать следующим образом. Пусть к — это импульс, протекающий через петлю, пас интересует поведение подынтегрального выражения в фейнмановском интеграле при больших k. Каждый фермионный пропагатор в нем дает множитель а каждый бозонный пропагатор—множитель . Вершинные части, в которые входят не зависят от k. Силыносвязанные функции классифицируются по числу внешних фермионных линии нуль, два, четыре и т. д. Типичные диаграммы изображены на рис. 7.13

Если обозначить через параметр ультрафиолетового обрезания, то интеграл будет вести себя как

где -число фермионных (бозонных) линий в петле. Говорят, что интеграл является условно расходящимся, если

где называется условной степенью расходимости. В электродинамике

кинематика несколько усложняет дело Мы уже встречали примеры, такие, как в случае поляризации вакуума для которых рассмотренные выше правила подсчета, казалось бы, указывают на квадратичную расходимость но сохранение тока, позволяющее выделить фактор оставляет лишь логарифмическую расходимость Аналогично при рассмотрении собственной энергии электрона имеем но опять-таки то, что (как было найдено) пропорциональна величинам , привело к уменьшению степени расходимости на единицу Правило подсчета расходимости вершинной функции является корректным, и . Но даже в этом случае только один формфактор оказался расходящимся Мы можем выразить через (четное) число внешних фермионных линий и число внешних бозонных линий, используя то обстоятельство, что в каждой вершине сходятся две фермионные линии и одна бозонная. Вдоль петли число вершин V равно числу внутренних пропагаторов:

и в соответствии с предыдущим утверждением

так как концами каждого пропагатора являются две вершины. Исключая находим

В результате получаем следующую таблицу:

С ростом числа внешних линий в диаграмме сходимость интеграла все более улучшается и результаты, приведенные в таблице (7.69), показывают, что мы исчерпали возможности, за исключением амплитуды фотон-фотонного рассеяния. Однако последняя в действительности сходится опять-таки в силу кчлибровочной инвариантности, которая вносит определенные ограничения в кинематическую структуру амплитуды этого процесса, в результате чего мы получаем интеграл, обладающий хорошим поведением. Это следует из проведенного нами ранее рассмотрения эффективного лагранжиана Эйлера — Гейзенберга (см. разд, 4.3.4) и будет подробно обсуждаться ниже (см. разд. 7.3.1).

Таким образом, в первом порядке по b, мы имеем конечную теорию, которая может предсказывать определенные результаты и удовлетворяет в рамках теории возмущений общим принципам унитарности и причинности. Наличие контрчленов в такой теории эквивалентно вычитаниям в дисперсионных соотношениях, т. е. они не изменяют ни аналитических свойств, ни поведения на разрезах. Другое подтверждение этому следует из того факта, что мы используем локальный эрмитов лагранжиан.

Вернемся теперь к выражению (7.65) и перегруппируем в нем члены следующим образом:

    (7.70)

Это выражение допускает естественную интерпретацию. Фигурирующие здесь поля и А являются перенормированными полями, которым отвечают пропагаторы с вычетом, равным единице в одночастичном полюсе. Определим следующим образом неперенормированные поля и зависящие от параметра обрезания голые параметры

Лагранжиан (7.70), записанный в терминах голых величин (7.71), имеет вид, аналогичный исходному лагранжиану:

Конечное число контрчленов различных типов обеспечивает не только сходимость каждого члена ряда теории возмущений (свойство,

которое будет сохраняться во всех порядках по в чем мы убедимся далее), но и сохранение самой структуры теории при перенормировке.

Подчеркнем еще раз роль тождества Уорда, приводящего к равенству

благодаря которому имеют смысл масштаб, вносимый в теорию электромагнитными взаимодействиями, и принцип минимальной связи.

Следует также заметить, что введение контрчленов не затрагивает величин что является особым свойством электродинамики. Таким же способом, каким вводилась голая «масса» можно определить голый параметр а именно

Лагранжиан (7.72) приводит к перенормированным функциям Грина, определяемым следующим образом:

Здесь обозначают внешние фермионные (фотонные) импульсы. Как и выше, эта формула справедлива в рамках разложения по однако это доказано нами пока до порядка Соотношения (7.71) и (7.74) оправдывают название «мультипликативная перенормировка».

В рамках теории возмущений константы перенормировки волновой функции оказываются бесконечными. Это показывает, что по крайней мере в данном смысле одна из рабочих гипотез настоящего подхода, а именно каноническая эквивалентность свободной теории и теории взаимодействующих полей, математически не вполне обоснована. Нам удалось, однако, преодолеть эти трудности, и позже мы обнаружим, что рассматриваемые явно бесконечные величины имеют интересный физический смысл.

В гл. 8 (см. т. 2 настоящей книги) мы обобщим этот подход на все порядки теории возмущений.