6.3.3. Вещественные сингулярности простых диаграмм

Проиллюстрируем общие формулировки на примере однопетлевых диаграмм. Сначала рассмотрим диаграмму типа «пузырь», изображенную на рис. 6.30. Исследуем аналитические свойства по переменной , где Р — полный. 4-импульс, входящий в одну из вершин. Диаграмма может описывать собственно-энергетический вклад в теории или амплитуду рассеяния в теории и т. п. В любом случае решение уравнений Ландау тривиально. Запишем соответствующий интеграл в импульсном пространстве

где вместо величины определяемой выражениями (6.83) и (6.101), рассматривается ветичина , которая дает аддитивный вклад в амплитуду рассеяния (5.171). Из уравнений Ландау вытекает, что существует два вещественных числа такие, что

    (6.112)

Отсюда следует, что Р и k коллинеарны и что Величина соответствует ожидаемому нормальному порогу, в то время как другое решение как мы ниже покажем, не появляется на физическом листе. По-видимому, мы заблуждаемся, поскольку интеграл (6.111) имеет логарифмическую ультрафиолетовую расходимость и требует перенормировки. Имеет смысл лишь значение интеграла , полученное после вычитания в некоторой точке, но это вычитание не приводит к изменению ни уравнений Ландау, ни структуры сингутярностей. В параметрическом пространстве интеграл после вычитания записывается в виде

Это выражение нетрудно получить с помощью формулы (6.90), если сначала произвести вычитание в подынтегральном выражении при произвольном значении , а затем выполнить интегрирование по X. Сингулярности соответствуют нулям выражения а уравнение

Таким образом, поскольку Рассматриваемый нами интеграл можно вычислить явно:

В полученном выражении последний член напоминает нам, что в амплитуде производится вычитание при , а функция К вводится в соответствии с определением (5.155а):

Аргумент логарифма можно переписать в виде

Отсюда следует, что на физическом листе, соответствующем главному значению логарифма, не имеет сингулярности при . Сингупярности при появляются на нефизических листах.

Рассмотрим теперь эти комплексные сингулярности более подробно, хотя это и не является здесь основной нашей задачей. Сингулярность при называемая также «псевдопорогом», очевидно, соответствует решению уравнений Ландау в параметрическом пространстве при отрицательном значении или , т. е. вне первоначального интервала интегрирования. Это означает, что при переходе на нефизические лисгы нам приходиюя переходить от интервала к комплексному контуру интегрирорания. Это — аналог явления, с которым мы столкнулись, рассматривая пример (6.99б). Точно так же сингулярность при представляет собой аналог примера (6.99в). Последняя сингулярность, которая не является решением первой системы уравнений Ландау (6.112), иллюстрирует так называемые сингулярности второго типа, которые мы отбрасывали, предполагая, что сингулярности на границе области интегрирования в импульсном пространстве, расположенной на бесконечности, отсутствуют. В действительности это не так, поскольку бесконечности может происходить зажимание контура, которое ведет к сингулярности при как это следует из исходного вида интеграла (6.111). Уравнения Ландау отражают тот факт, что гиперболоиды касаются друг друга, когда . Однако такое касание может иметь место и на бесконечности, когда центры гиперболоидов совпадают или разделены вектором нулевой длины, т. е.

Появление сингулярности при должно служить предостережением. Анализ комплексных сингулярностей сложем.

На физическом листе скачок интеграла на разрезе, идущем от до является мнимой величиной; он записывается в виде

    (6.114)

По этой абсорбтивной части амплитуду можно восстановить с помолыо дисперсионного соотношения с одним вычитанием, т. е. по формуле

Коши с контуром интегрирования, охватывающим разрез:

Рассмотрим теперь вершинную диаграмму на рис. 6.32, а, которой соответствует интеграл

    (6.116)

где . В этом случае система уравнений Ландау имеет вид

В случае главной сингулярности ни одна из k не равна нулю; следовательно, детерминант, составленный из скалярных произведений должен обращаться в нуль.

РИС. 6.32. Треугольная вершинная диаграмма и дуальная к ней диаграмма,

Это условие удобно записать в виде

    (6.117)

где — перестановки индек

Аналогично, если имеется неглавная сингулярность, соответсгвующая, скажем, должно выполняться условие

При мы получаем нормальный порог, а сингулярность в точке как и в случае диаграммы типа «пузырь», на физическом листе отсутствует, В этом можно убедиться, анализируя уравнения Ландау в параметрическом пространстве. Скачок на разрезе, идущий от до определяется выражением

    (6.118)

где

Разумеется, аналогичные нормальные пороги существуют и по переменным

Чтобы изучить аномальный порог, рассмотрим дуальную диаграмму, изображенную на рис. 6.32, б. Здесь мы имеем тетраэдр в трехмерном евклидовом пространстве с ребрами, квадраты длин которых равны . Такое возможно, поскольку находятся на массовой поверхности Условия стабильности для внутренних и внешних частиц приводят к тому, что углы определяемые выражением

должны быть вещественными. Условие (6.117) означает, что альная диаграмма расположена в плоскости. Наконец, из условия вещественности следует, что центральная точка на рис. 6.32,б должна располагаться внутри треугольника. Отсюда мы имеем или, что эквивалентно, Иными словами, должно выполняться условие

    (6.119)

Получим этот результат, используя параметрическое представление в частном случае, когда Функция тогда записывается в виде

а уравнения Ландау после исключения параметра при поскольку принимают вид

При условии что

    (6.120)

решение а заключено между 0 и 1/2. В этом частном случае условие (6.120) соответствует (6.119). Аномальный порог расположен в точке

Рассмотрим какую-нибудь физическую величину, скажем электромагнитный формфактор нуклона. Очевидно, здесь возникнет трудность, связанная с тем, что аномальный порог может оказаться ниже нормального. Действительно, наинизшее состояние, связанное с фотоном, — это двухпионная система, для которой , а наинизшее состояние для нуклона, находящегося на массовой поверхности — это пион-нуклонное состояние; следовательно, Если мы выберем то все предыдущие условия будут выполнены; тогда неравенство (6.120) запишется следующим образом:

Очевидно, что ему удовлетворяют экспериментальные значения масс. К счастью, при наших рассуждениях мы пока не учитывали различные законы сохранения, например закон сохранения барионного заряда, который приводит к тому, что любое состояние, связанное с нуклоном, должно содержать по крайней мере один барион с массой большей, чем MN

РИС. 6.33. Диаграмма «ящик» в -канале (а) и в перекрестом -канале (б).

Таким образом, условие (6.120) не может быть выполнено, и мы избавлены от неприятностей. Аналогичным образом аномальные пороги не появляются в формфакторах пионов и каонов, но они возникают в формфакторах гиперонов и дейтронов.

С помощью рассмотренной выше схемы можно изучить аналитические свойства амплитуды рассеяния, представленной на

рис. 6.33, а в виде диаграммы типа «ящик»:

    (6.121)

В s-канале мы находим нормальный порог при [в -канале этот порог расположен при ]. Скачок на соответствующем разрезе можно вычислить по формуле

— угол рассеяния в системе центра масс, т. е.

Величины а к b определяются выражениями (6.118), а с и d получаются из а и b заменами на Для величины D находим

В случае равных масс записанные выше выражения упрощаются. Так, в правой части (6.122) мы имеем

    (6.123)

Скачок рассматриваемый как функция I, имеет сам скачок в -канале, называемый двойной спектральной функцией :

Следовательно, удовлетворяет дисперсионным соотношениям при фиксированном s или фиксированном t, или даже допускает аналитическое представление сразу по двум переменным s и

Второе выражение в (6.125а), включающее двойной скачок р, является частным случаем представления Манделстама. Для рассматриваемой здесь диаграммы типа «ящик» двойные спектральные функции равны нулю. В случае перекрестной диаграммы, изображенной на рис. 6.33, б. лишь отлично от нуля. Поэтому удовлетворяет следующему дисперсионному

соотношению при фиксированном

или представлению Манделстама

На самом деле наши результаты являются не совсем точными В предшествующем выводе мы предполагали, что все внешние частицы стабильны по отношению к распаду, и что аномальные пороги отсутствуют Точные условия того, чюбы это выполнялось, могут быть найдены тем же способом, что и для вершины. Предполагалось также, что в благоприятных случаях, например в случае пион нуклонного рассеяния физическая амплитуда рассеяния удовлетворяет представлению Манделстама общего вида

где двойные спектральные функции отличны от нуля в некоторых областях (затененные области на рис 6.34) Соотношение (6 126) написано в предположении что требуются вычитания

Изучение этих простых диаграмм не только полезно как иллюстрация метода но и может служить предварительным шагом при рассмотрении более сложных случаев Например используя технику мажорирования, из этих «примитивных» диаграмм можно получить аналитические свойства диаграмм высших порядков Для подробного изучения этого вопроса мы рекомендуем читателю обратиться к более специальной литературе.

РИС. 6.34 Плоскость для пион нуклонного рассеяния Площади, заштрихованные косыми линиями, являются физическими областями s канала и канала и М — массы пиона и нуклона соответственно. Области где двойные спектральные функции отличны от нуля, затенены точками