2.5.4. Метод собственного времени Фока—Швингера

В качестве дополнения к предыдущему изучению пропагаюров изложим здесь красивый метод, предложенный Фоком и Швингером. Мы используем этот метод, чтобы получить точные выражения дираковского пропагатора для внешних электромагнитных полей двух типов постоянного однородного поля и поля плоской волны, с которым мы уже сталкивались в классической теории.

Предположим, что мы ищем функцию Грина как решение уравнения

    (2.133)

где Н—полином по Будем рассматривать Я как гамильтониан, который описывает эволюцию некоторой системы в собственном времени. Предыдущее уравнение есть не что иное, как определение функции Грина для в -представлении:

    (2.134)

Введем унитарный оператор эволюции

    (2.135)

с граничными условиями

    (2.136а)

Мы имеем

    (2,137)

Уравнение (2.135) можно переписать в очевидных обозначениях следующим образом:

    (2.139)

В благоприятных случаях мы можем решить уравнение относительно , демонстрируя связь между квантовым и классическим подходами. Запишем гамильтониан как функцию соответствующим образом упорядоченных операторов

Тогда уравнение для становится обыкновенным линейным дифференциальным уравнением, которое можно проинтегрировать в виде

где необходимо еще определить таким образом, чтобы оператор удовлетворял правильным соотношениям между координатой и импульсом; например,

    (2.140)

В случае дираковской частицы, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем, нам нужно решить уравнение

Величина определяемая соотношением

    (2.141)

удовлетворяет уравнению

    (2.142)

В представлении Гейзенберга операторы удовлетворяют соотношениям Эренфеста

    (2.143)

поскольку

Рассмотрим вначале постоянное поле. В этом случае предыдущие уравнения принимают вид

Эти уравнения легко проинтегрировать, используя матричные обозначения

Вычислим затем как функцию от

Используя антисимметрию величины F, получаем

где

Перегруппируем это выражение с учетом коммутационного соотношения

Окончательно получаем следующее выражение для

    (2.145)

Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет , запишется в виде

Интегрируя это уравнение, получаем

Функция определяется соотношениями (2.140), из которых следуют уравнения

Решение этих уравнений записывается в виде

Поскольку в этом выражении интеграл не зависит от пути интегрирования Интегрируя вдоль прямой линии от к х, убеждаемся, что второй член не дает вклада вследствие антисимметрии функции , и мы можем написать

Постоянная С определяется с помощью граничного условия (2.136а), откуда

В заключение запишем выражение для пропагатора в постоянном поле:

    (2.141а)

где

Здесь присутствие члена необходимо, чтобы удовлетворить условию (2 1366) Фазовый множитель обеспечивает для U калибровочную инвариантность; при имеем

Обратимся теперь к случаю поля плоской волны. Вычисления здесь полностью аналогичны выполненным выше, и мы наметим лишь последовательность действий Рассмотрим линейно-поляризованную плоскую волну и воспользуемся теми же обозначениями, что и в разд. причем , где Следует заметить, что . Таким образом, уравнения (2.143) принимают вид

    (2.147)

Замечая, что сначала находим

Затем проинтегрируем уравнение относительно и получим

здесь - постоянный оператор, который коммутирует с . Подставляя это выражение в (2.147) и интегрируя, получаем

Здесь - новый постоянный оператор, коммутирующий с Вычислим далее и исключим

Это позволяет нам записать постоянную в виде

После вычисления коммутаторов

можно записать гамильтониан

где

Оператор эволюции имеет вид

здесь функция снова определяется соотношениями (2.140). Мы находим

где интеграл не зависит от пути интегрирования. Для прямой линии единственный остающийся в фазовом множителе член равен а мы приходим к окончательному выражению

    (2.149)

Это выражение напоминает классический результат, полученный в разд. 1.1.3.

В случае периодической функции вкладом члена, пропорционального при усреднении по нескольким периодам можно пренебречь. В реэультате мы получаем сдвиг массы

Обнаружить гакой нелинейный эффект трудно; для этого требуются пучки очень высокой интенсивности, поскольку для монохроматической плоской волны частотой и плотностью энергии относительный эффект равен

Здесь — комптоновская длина волны электрона, а — число фотонов на единицу объема в падающем пучке. В настоящее время наиболее мощные лазерные пучки еще не позволяют нам достигнуть значительной величины эгого отношения.