5.2.3. Время жизни позитрония

В предыдущем разделе рассматривалась свободная аннигиляция электрона и позитрона в пренебрежении кулоновской силой Последняя может проявить себя, связывая две частицы в нейтральную систему — позитроний — лептонный аналог атомных связанных состояний, которые мы уже рассматривали в гл. 2 Обобщим полученные выше результаты с тем, чтобы получить скорости распада пара- и оргопозитрония из -волновых основных состояний. Поскольку аннигиляция представляет собой медленный процесс, ширина этих нестабильных состояний очень мала по сравнению с нерелятивистской энергией свяи. Поэтому мы можем провести рассмотрение в два этапа, пренебрегая сначала аннигиляцией, чтобы вычислить энергию связи, а затем пренебрегая связью, чтобы вычислить вероятность аннигиляции Строгое рассмотрение не допускает появления позитрония в виде стабильного асимптотического состояния, он может возникнуть лишь среди нестабильных возбуждений. В нулевом порядке электрон и позитрон

описываются нерелятивистской изотропной волновой функцией

где а — удвоенный боровский радиус атома водорода (поскольку в нашем случае приведенная масса равна половине массы электрона):

    (5.127)

По порядку величины импульс электрона или позитрона равен и аннигиляцию можно рассматривать в первом приближении так, как если бы обе частицы покоились относительно друг друга. Поэтому второй этап состоит в том, чтобы вычислить ширину синглетного и триплетного состояний для свободных частиц, находящихся в покое

В гл. 3 было установлено, что зарядовая четность позволяет распадаться синглетному состоянию на четное число фотонов, а потому наименьшее возможное число фотонов равно двум. Мы используем наш прежний результат, умножив его на 4, поскольку вместо четырех усредненных состояний поляризации здесь имеет место распад состояния с определенным спином.

Кроме того нам придется заново пересмотреть рассуждения, приведенные в разд. 5.1.1, и дающие соотношение между сечением и вероятностью перехода в единицу времени, которую мы обозначим здесь как . Для этого умножим величину на нормирующий множитель, получаемый следующим образом. Подставим вместо фактора потока

вес

который возникает в нашем случае при повторении вычислений, приводящих от выражения (5.4) к (5.13). Таким образом, можно записать

    (5.128)

Отсюда мы видим, что отношение , где — энергия связи, имеет порядок величины это подтверждает обоснованность нашего подхода.

Полученную нами величину можно интерпретировать как вероятность распада в единицу времени, выраженную через матричный

элемент перехода на пороге:

Данная формула позволяет нам рассмотреть также и распад ортопозитрония, когда минимальное число испускаемых фотонов равно трем. Из редукционной формулы в низшем порядке получаем

    (5.130)

С помощью теоремы Вика получаем следующее выражение для матричного элемента:

Подставляя этот матричный элемент в (5.130) и интегрируя, находим

Здесь и -дираковские спиноры электрона и позитрона в состоянии покоя; мы должны образовать проекцию на триплетное состояние. Полная энергия-импульсфермионов равна в то время как величины обозначают импульсы и поляризации фотонов в конечном состоянии, причем

РИС. 5.6. Трехфотонный распад ортопозитрония, а — одна из шести диаграмм, описывающих процесс в низшем порядке; б — выбор осей для измерения поляризации фотона; — нормаль к плоскости реакции.

Разумеется, величина является симметричной по фотонным переменным, как того требует статистика Бозе. Поэтому интеграл по фазовому пространству следует разделить на Выражение (5.131) можно представить в виде суммы шести фейнмановских

диаграмм, одна из которых показана на рис. 5.6, а, получаемых перестановкой фотонных переменных. Чтобы продолжить вычисления, введем обозначения

    (5-132)

где - двухкомпонентные спиноры, описывающие фермионы. Применим здесь метод, отличный от того, который состоит в вычислении следов при квадрировании , а именно вычислим -матрицу в явном виде. В очевидных обозначениях последняя получается из -матрицы следующим образом:

Пусть . Кроме того, положим для и обозначим . Это единичный вектор, поскольку Тогда можно написать

Аналогично

Следовательно,

Таким образом, искомая комбинация имеет вида V. Действительно, след этой матрицы равен нулю, поскольку он пропорционален величине

Напомним, что . Итак, мы имеем , где

    (5.133)

Очевидно, что время жизни ортопозитрония не зависит от состояния его поляризации. Однако угловое распределение, когда мы измеряем поляризации фотонов, зависит от состояния начальной поляризации. Ограничимся здесь определением полной скорости распада, которую в случае неполяризозанного ортопозитрония можно вычислить путем усреднения по трем состояниям спина. Таким образом,

    (5.134)

Здесь мы учли множитель входящий явно в формулу (5.132). Например, амплитуда распада состояния пропорциональна матричному элементу а для состояния , соответствующая амплитуда включает величину

Наконец, для состояния амплитуда содержит величину Следовательно,

Чтобы завершить вычисление, удобно воспользоваться комплексными векторами поляризации, записываемыми в виде и удовлетворяющими условиям

Таким образом,

Просуммируем теперь по поляризациям фотонов, выбирая для каждого фотона два ортогональных базисных состояния а) и б), в которых 8 направлено вдоль нормали к плоскости реакции и

вдоль , (см. рис. 5.6, б):

Таким образом,

В сумму по поляризациям фотонов дает вклад лишь первый член в выражении для V:

где . Подставляя в (5.134) окончательное выражение

получаем

Здесь каждый член суммы по циклическим перестановкам дает одинаковые вклады. Следовательно,

    (5.136)

причем областью интегрирования является треугольник Мандельстама .

Запишем выражения

    (5.137)

Вычисляя интеграл А, получаем

Сумма равна так что и мы получаем окончательный результат, о котором уже упоминалось в гл. 3:

Из приведенных выше выражений нетрудно получить энергетический спектр испущенных фотонов.