2.2.3. Электромагнитное взаимодействие

Рассмотрим взаимодействие дираковской частицы с внешним (классическим) электромагнитным полем, заданным потенциалом . Соответствующее взаимодействие (т. е. минимальное взаимодействие) вводят в свободное уравнение Дирака с помощью рецепта, описанного в гл. 1:

Тогда уравнение Дирака принимает вид

Этот рецепт обеспечивает инвариантность уравнения относительно калибровочных преобразований:

Здесь - заряд частицы; для электрона он отрицателен, Лоренц-ковариантность данного уравнения очевидна. При переходе в новую систему отсчета электромагнитный потенциал преобразуется как вектор:

и, следовательно, к данному случаю можно применить анализ, выполненный в разд. 2.1.3.

Уравнение (2.62) можно записать в более детализированном виде

Следует отметить сильное сходство гамильтониана взаимодействия и гамильтониана классической частицы во внешнем поле — что согласуется с интерпретацией вектора а как оператора скорости. В представлении Гейзенберга оператор 6 удовлетворяет уравнению движения

Таким образом, в этом случае оператор положения и калибровочно-инвариантный импульс удовлетворяют уравнениям

где

Второе уравнение представляет собой операторную версию уравнения для силы Лоренца. Однако вследствие парадоксов, с которыми мы столкнулись в предыдущем разделе, мы можем интерпретировать векторы как координату и импульс лишь в ограниченном смысле.

Чтобы выяснить физический смысл этих уравнений, рассмотрим их нерелятивистский предел. Запишем и используем представление матриц, в котором . При этом уравнение (2.64) запишется в виде пары уравнений

В нерелятивистском пределе большая энергия является доминирующим членом в (2.66). Введем медленно меняющиеся функции времени Ф и X:

Эти спиноры удовлетворяют уравнениям

Если предположить, что , то решение второго уравнения записывается приближенно в виде

а первое уравнение совпадает с уравнением Паули

Это оправдывает использование терминов «большая и малая компоненты» для (или Ф и X соответственно). Что касается уравнения (2.69), то оно является обобщением на случай спиноров уравнения Шредингера для электромагнитного поля. После простых алгебраических преобразований, а именно вычисляя

уравнение (2.69) можно переписать в виде

Заметим, что единственная зависимость от спина сохранилась в члене магнитного взаимодействия . Восстанавливая величины

и с, этот член можно переписать в виде

где магнитный момент определяется выражением

Оператор спина . В соответствии с определением, данным в разд. 1.1.3, гиромагнитное отношение . Это нетривиальный результат теории Дирака, предсказанный в рамках нерелятивистского рассмотрения, основанного на уравнении Паули. Численное значение магнитного момента равно

Экспериментально измеренное значение величины g отличается от дираковского на очень малую величину за счет радиационных поправок; этот вопрос мы изучим позже.

Уравнение Паули (2.70) можно упростить, если рассмотреть однородное магнитное поле , такое, что и пренебречь квадратичным членом по А (приближение слабого поля). В результате получим уравнение

где - оператор орбитального углового момента. Предлагаем читателю найти полную систему решений этого уравнения.

В действительности проведенное выше рассмотрение можно выполнить также для уравнения Дирака, записанного в квадрированной форме, т. е. не используя нерелятивистского приближения. Запишем сначала уравнение (2.62), умножив его на оператор . Это дает

Следовательно, в обычном представлении зависящей от спина член имеет вид

Он вновь отвечает значению гиромагнитного отношения Заметим, что такое значение получено как следствие предположения о минимальном взаимодействии (2.61). Мы могли бы

написать уравнение с взаимодействием, которое не является минимальным, т. е.

Это уравнение привело бы к Такое уравнение применяется при изучении поведения в слабых полях частиц с -факторами, сильно отличающимися от 2.

Представляет интерес задача определения энергетических уровней в постоянном магнитном поле. Предположим, что поле В направлено вдоль оси . Вектор-потенциал А можно выбрать так, что Для стационарного решения, отвечающего энергии уравнения (2.66) записываются в виде

Исключая мы получаем уравнение для :

Это есть не что иное, как гамильтониан гармонического осциллятора. Поскольку коммутируют с правой частью, мы ищем решения в виде

где удовлетворяет уравнению

Предполагая, что знак величины В таков, что введем вспомогательные переменные

В этих переменных уравнение (2.75) запишется в виде

Если есть собственный вектор оператора с собственным значением причем

то удовлетворяет уравнению

Решение, убывающее на бесконечности, выражается через полином Эрмита

при условии, что где Следовательно, уровни энергии определяются выражением

Нетрудно написать и соответствующие волновые функции. Эти уровни являются вырожденными как по дискретной переменной так и по непрерывной (по ). Вырождение по можно свести к дискретному, если предположить, что частица находится в потенциальном ящике конечных размеров. Выражение (2.76) является релятивистским обобщением уровней Ландау. Мы видим, что для спектр простирается до значения

В качестве второго примера изучим поведение дираковской частицы в поле электромагнитной плоской волны. При этом мы получим обобщение классического рассмотрения, проведенного в гл 1. Предположим, что плоская волна, которая является линейно-поляризованной, характеризуется направляющим вектором и вектором поляризации . Запишем выражение где Ыпаи причем . Тогда квадрированное уравнение (2.73) принимает вид

Запишем его решения в виде

где — дираковский спинор, неортогональный к четыре-вектор. Добавляя к некоторую величину вида можно удовлетворить условию

Интерпретация этого -вектора следующая. В системе отсчета, в которой и, следовательно, , а Е и А направлены вдоль оси вдоль оси вдоль оси операторы коммутируют с гамильтонианом Дирака. Подстановка решения (2.78) в уравнение (2.77) приводит к условию

которое легко проинтегрировать. Таким образом, получаем

где — постоянный биспинор. Поскольку мы можем написать

где действие классической частицы, в поле плоской волны (затухающей на бесконечности), причем с выражением (1.84):

Для того чтобы удовлетворяло исходному уравнению Дирака, а не только квадрированному уравнению (2.73), оператор «должен подчиняться некоторому вспомогательному условию. После простых алгебраических преобразований получаем

Следовательно,

и является решением свободного уравнения Дирака. Читатель может убедиться, что решение (2.79) имеет правильную нормировку

и что соответствующий ток имеет вид

Если — квазиперяодическая функция (медленно затухающая на бесконечности), то среднее значение величины равно

В гл. 1 мы получили аналогичное выражение для соответствующего классического случая. Эти выражения впервые были получены Волковым в 1935 г.