6.2.3. Параметрическое представление

Рассмотрим в скалярной теории произвольную сильносвязную диаграмму G и вычислим соответствующий ей вклад согласно правилам Фейнмана. Предположим, что G не содержит никаких «головастиков», т. е. в диаграмме нет ни одной внутренней линии, начинающейся и заканчивающейся в одной и той же вершине. Пусть, как и прежде, - число внутренних линий, число вершин. Ориентацию каждой внутренней линии удобно считать произвольной. Определим матрицу инцидентности с индексами, пробегающими номера вершин и внутренних линий соответственно как

Эта -матрица характеризует топологию диаграммы. Введем следующие определения. Поддиаграмма G диаграммы G есть подмножество вершин и линий диаграммы G, такое, что никакая вершина в нем не является изолированной; мы не предполагаем, что для двух данных вершин из G все линии, соединяющие их в G, принадлежат G. Деревом для G будет поддиаграмма, содержащая все вершины диаграммы G, но не содержащая петель. Диаграмму G можно восстановить по любому из ее деревьев добавлением к ним линий. Согласно соотношению (6 69), дерево имеет внутренних линий Его матрица инцидентности, а именно -матрица, имеет ранг, меньший или равный . Покажем, что ее ранг действительно равен . Если из дерева удалить произвольную вершину, то между линиями и оставшимися вершинами будет существовать взаимнооднозначное соответствие, при котором Для любого другого соответствия по крайней мере одно из обращается в нуль. Это означает, что соответствующий -минор матрицы инцидентности равен Последнее справедливо для любого такого минора и, следовательно, ранг матрицы инцидентности древесной диаграммы равен .

Для произвольной связной диаграммы условие означает, что ранг -матрицы инцидентности равен . В силу того что для любого мы имеем поскольку получается добавлением новых столбцов к матрице ранга древесной поддиаграммы, получаем .

Рассмотрим теперь G как диаграмму Фейнмана, дающую вклад в некоторую сильносвязную функцию Грина Пусть

— входящие импульсы и . Обозначим через сумму импульсов, входящих в вершину V, очевидно,

Вклад от зависит только от Р, при условии что мы рассматриваем теорию со связями без производных. Этот вклад записывается в виде

Здесь — фактор симметрии диаграммы, а С (G) объединяет все множители, относящиеся к вершинам; например, в теории Направление -импульса соответствует ориентации, выбранной для l-й внутренней линии Изучаемая теория может включать различные виды скалярных полей, поэтому массы снабжены индексами l. Если в скалярной теории имеются связи с производными или введены поля со спинами, то в числитель подынтегрального выражения (6 83) входят полиномы по k. Это приводит лишь к небольшому усложнению, что в последующих главах будет проиллюстрировано на практических примерах. В дальнейшем мы будем использовать следующие интегральные представления свободного скалярного пропагатора и -функции:

    (6-84а)

В (6.84 a) благодаря присутствию интеграл сходится на верхнем пределе. В дальнейшем величину будем опускать (при этом можно считать, что имеет малую мнимую часть).

Подставим представление (6.84) в (6 83) и изменим порядок интегрирования. Разумеется, такая операция не законна, если интегралы не являются абсолютно сходящимися, что часто имеет место. Однако в гл. 8 (т. 2 настоящей книги) при рассмотрении регуляризаций и перенормировок мы покажем, что это оправдано. Интегрирования по каждому -импульсу могут быть легко выполнены,

что приводит к результату.

где А — интеграл Френеля:

Отсюда получаем

Произведем в этой формуле следующую замену переменных:

Якобиан этой замены равен единице. Поскольку (линия соединяет две и только две вершины), входит лишь в последнюю экспоненту выражения (6.85). Поэтому интегрирование по дает -функцию, выражающую закон сохранения энергии-импульса, а именно

Матрица размерности определяемая как

является, как можно показать, несингулярной; ее детерминант равен

где сумма пробегает по всем деревьям G. Поскольку каждое дерево диаграммы G имеет V—1 линий, очевидно, что представляет собой однородный полином по При детерминант А положителен Теперь можно проинтегрировать по остальным четыре-векторам , в результате получаем

Эта формула выражает как функцию инвариантных скалярных произведений внешних импульсов Функции от а, которые входят в показатель экспоненты или в знаменатель, могут быть представлены в виде, не зависящем от выбора вершины V. С одной стороны, знаменатель

является однородным полиномом степени L, не зависящим, очевидно, от У. С другой стороны, квадратичную форму

можно записать в виде

где сумма пробегает по всем возможным С «рассечениям» линии, делящим диаграмму на две и только две связные части ; такие разбиения получаются из древесных поддиаграмм диаграммы G рассечением некоторой линии. При этом обозначает квадрат импульсов Р, входящих в или

Таким образом, равно отношению двух однородных полиномов степени и L соответственно. Окончательно параметрическое представление имеет вид

где определяются выражениями . Мы опустим в нашем элементарном изложении доказательство формул (6.86)-(6.88) и подробное рассмотрение свойств функций и это можно найти в литературе, перечисленной в конце настоящей главы.

РИС. 6.27. Пример диаграммы, дающей вклад в четырехточечную функцию.

Проиллюстрируем правила (6.86)-(6.88) На конкретном примере. Диаграмма, изображенная на рис. 6.27, дает вклад в четырехточечную функцию в теории . Напомним, что фактор симметрии . Деревьями являются Следовательно, полином можно записать в виде

Теперь перечислим рассечения С и соответствующие им величины

Выбирая в качестве независимых переменных имеем

В целях дальнейшего упрощения выражения (6.89) можно воспользоваться свойствами однородности и :

Подставляя в подынтегральную часть тождество

и производя замену переменной получаем

Из-за присутствия -функции интегрирование по а проводится в пределах от 0 до 1. При интегрировании по X сходимость на верхнем пределе обеспечена благодаря неявно входящей в добавке . Интеграл сходится также и на нижнем пределе при условии, что Результат интегрирования можно выразить с помощью гамма-функции Эйлера в виде

Условие сходимости, записанное в виде отражает лишь тот факт, что имеет отрицательную размерность в единицах энергии. Это можно видеть из выражений (6.83) и (6.91), учитывая то, что имеет размерность Если же эта размерность неотрицательна, интеграл расходится на нижнем пределе что в рассматриваемом параметрическом представлении является отражением ультрафиолетовой расходимости интеграла (6.83) при больших k. Это соотношение между размерностью и наличием расходимостей предвосхищает правила подсчета степеней, которые будут нашим основным критерием при рассмотрении процедуры перенормировок.

Параметрические представления полезны во многих отношениях С их помощью различным выражениям, соответствующим диаграммам Фейнмана, можно придать простую форму, удобную при практических вычислениях. Их можно также применить для изучения аналитических свойств функций Грина и выполнения программы перенормировок. Кроме того, существует интересная аналогия между этими параметрическими представлениями и теорией электрических цепей